Migliore risposta
Uno spinore è solo un vettore che si comporta in modo diverso sotto le rotazioni e certe altre trasformazioni .
Piuttosto che parlare in generale, penso che diventi molto più facile pensare agli spinori quando hai un esempio matematico concreto con cui lavorare. Questa risposta farà proprio questo. Non si presuppone alcuna conoscenza matematica oltre allalgebra lineare introduttiva.
Unintroduzione più tecnica può essere trovata da Leccellente documento introduttivo di Steane sullargomento, con un trattamento più completo fornito qui: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Tutte le illustrazioni seguenti sono sue. Se sbaglio qualcosa, non esitare a commentare.
Cosa sono gli spinori
Ho detto sopra che gli spinori erano solo vettori. Cosa significa? Significa che hanno tutte le proprietà dei vettori:
- possono essere sommati,
- moltiplicati per una costante (chiamata anche scalare ),
- esiste una cosa come uno spinore “zero”,
- e ogni spinore ha uno spinore inverso .
Puoi andare avanti e aggiungere requisiti più complessi:
- Due spinori possono avere un prodotto interno ben definito, proprio come gli spazi vettoriali.
- Uno spinore può avere una lunghezza significativa, proprio come altri spazi vettoriali.
e così via.
Informazioni su solo requisito per uno spinore che lo rende distinto da un vettore è che provare a ruotare non ti darà il risultato atteso – provare a ruotare di 360 gradi non ti dà lo stesso spinore, ma ruotare di 180 gradi. Più in generale, la rotazione di un angolo \ theta richiede luso della matrice di rotazione per un angolo \ theta / 2!
Con questo in mente, ecco “un semplice spinore che può essere immaginato nello spazio euclideo tridimensionale ordinario e che assume tutte le proprietà che ho elencato sopra. Questo è lo spinore più semplice e quello che sarà il più familiare ai fisici.
Ecco “una descrizione matematica perfettamente valida dello spinore sopra:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Saluta il tuo primo spinore!
Thinking About Spinors: A Warning
Prima di procedere, nota qualcosa: lo spazio euclideo, come ho detto, è tridimensionale, ma ho solo bisogno di due componenti per rappresentare il mio spinore! Come può essere questo? Non tutti i vettori devono avere lo stesso numero di componenti della dimensione dello spazio che occupano?
La contraddizione può essere risolta in una frase: gli spinori non vivono nello spazio euclideo – possono corrispondere a oggetti nello spazio euclideo, e le cose fatte loro possono corrispondere a cose fatte nello spazio euclideo, ma quella non è la loro casa.
La verità è che lo spinore non ha due componenti come ho detto sopra (a questo punto probabilmente stai guardando lo schermo e imprecando sottovoce ). Uno spinore non ha lo stesso orientamento di un vettore nello spazio vettoriale in cui lo abbiamo inserito: puoi modellare oggetti in uno spazio vettoriale ordinario con esso, come ho qui, ma un vero spinore è definito da più parametri di quello di un vettore ordinario in tale spazio.
Metti semplicemente , dove lorientamento di un vettore ordinario sarebbe definito solo da r, \ theta, \ phi, lorientamento di uno spinore è definito da r, \ theta, \ phi, \ alpha e il suo segno (assunto positivo nellesempio sopra): propriamente parlando, uno spazio vettoriale tridimensionale può essere rappresentato da un quadridimensionale spinore (il segno, poiché può assumere solo due valori, può anche essere pensato come una dimensione, ma sarebbe piuttosto inutile).
Puoi scrivere questo spinore come un vettore con quattro componenti , uno per ogni parametro, moltiplicato per un segno – oppure puoi usare un trucco, come Lho fatto e fingere che lo spinore abbia componenti complessi, il che ci consente di scrivere lo stesso spinore con la rappresentazione sopra con due coordinate.Questo è il motivo per cui il mio spinore sembra avere due componenti, quando in realtà ha quattro parametri e la dimensione associata che lo accompagna, in uno spazio vettoriale tridimensionale: perché i nostri spinori esistono nel loro spazio complesso, non nello spazio vettoriale tridimensionale.
Quindi, prima di andare avanti, ricorda : gli spinori devono avere solo la stessa dimensione spaziale (cioè i parametri richiesti per specificare il suo orientamento nello spazio) ma questi non devono essere gli unici parametri che lo definiscono. In questo caso, sto trattando i componenti del mio spinore come a valori complessi, motivo per cui posso scriverlo in modo così conciso in un vettore colonna a due componenti, ma gli spinori possono e hanno più parametri, motivo per cui sono piuttosto complicati lavorare con.
Nella vita reale, fortemente consigliamo di ricordare che gli spinori non “t davvero vivono al nostro fianco: sono, come tutte le altre cose in fisica, astrazioni matematiche che ci rendono la vita più facile da lavorare. Tutto ciò con cui davvero succede agli oggetti tridimensionali, ma possiamo usare gli spinori per modellarli e rendere la matematica più piacevole, motivo per cui lo facciamo.
Per porta questo punto a casa, considera il seguente diagramma:
Nota come la presenza dellangolo di bandiera complica questioni semplici come la rotazione e ciò che costituisce lortogonalità. È un parametro aggiuntivo , e questo fa la differenza.
A causa dei problemi presentati da questa strana dimensionalità dello spinore, non puoi semplicemente usare la normale matrice di rotazione per due dimensioni con cui abbiamo più familiarità, ovvero lonnipresente \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} per qualsiasi angolo. Questo sarebbe corretto per un vettore bidimensionale, ma anche gli spinori più semplici sono non , come ho fatto di tutto per sottolineare, bidimensionali. Non puoi nemmeno usare le normali matrici tridimensionali: puoi certamente tradurre leffetto della rotazione in questi tipi, ma non è corretto con direttamente moltiplica uno spinore con loro, perché “non appartengono allo stesso spazio.
Come ruotare gli spinori
Una rotazione attorno a ciascun asse, quindi, è data dalla sua matrice di rotazione speciale, definita in uno spazio completamente diverso in cui vivono effettivamente gli spinori (invece dello spazio euclideo). Denotiamo le matrici di rotazione con langolo \ theta nelle direzioni x, y, z come R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Quindi ,
R\_ {x} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begin {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Ecco la parte divertente: noti come tutte queste matrici di rotazione usano il semiangolo \ frac {\ theta} {2} per ruotare di un angolo \ theta?
È vero! Questo fenomeno del raddoppio dellangolo è il segno distintivo degli spinori: puoi anche provare che moltiplicare uno spinore per queste matrici semiangolari equivale a ruotare la parte spaziale del angolo completo.
E questo è letteralmente : tutto ciò di cui hai bisogno per conoscere gli spinori – che sono vettori che vivono nel loro spazio speciale e hanno le loro speciali matrici di rotazione – coperti in una risposta di Quora. Ho limitato la mia attenzione agli spinori più semplici là fuori, ovviamente, ma lessenziale le caratteristiche sono tutte presentate. Se vuoi approfondire, consulta Steane (linkato sopra).
Perché ci preoccupiamo per gli spinori
Gli spinori sono importanti perché risulta che sono in grado di descrivere lintero spettro di comportamento atteso dalle particelle subatomiche. In particolare, le particelle vengono raggruppate con momento angolare intrinseco, una proprietà che chiamiamo spin (vedi la risposta di Brian Bi a Lo spin delle particelle subatomiche coinvolge effettivamente il momento angolare (cioè, la particella è effettivamente * rotante *)? per una descrizione completa).Modellando le particelle come spinori piuttosto che come vettori ordinari, siamo in grado di descrivere con successo linterazione che ci aspettiamo da questo spin e di fornire una descrizione completa del comportamento delle particelle – in effetti, gli spinori costituiscono la base dellequazione di Dirac, che sostituisce lequazione di Schrödinger fornire unequazione donda compatibile con la relatività speciale e, a sua volta, forma la base della teoria quantistica dei campi (lestensione della meccanica quantistica per descrivere le forze).
Risposta
Gli spinori sono oggetti geometrici che esistono nel vivere in spazi vettoriali reali (in contrasto con spazi vettoriali complessi o quaternionici).
Quindi, per fare un passo indietro, un vettore è un oggetto che esiste nello spazio e si dice che punti in una data direzione. Ciò significa che se ruoti i tuoi assi, il vettore dei componenti cambia allo stesso modo.
I vettori hanno la proprietà che se li ruoti di 360 “, ottieni lo stesso oggetto.
Ci sono una miriade di oggetti geometrici che possono essere costruiti da vettori. Ad esempio puoi prendere due vettori e moltiplicarli insieme per ottenere i tensori. In particolare, il momento di inerzia del tensore è uno di questi. I tensori hanno la proprietà che se li ruoti di 360 “/ N, ritorni lo stesso oggetto e se ruotandoli di 360 “si torna sempre allo stesso oggetto.
Negli spazi che hanno un gruppo di simmetria ortogonale (quelli che sorgono naturalmente negli spazi vettoriali reali), ci sono altri tipi di oggetti geometrici che sono non è composto da vettori. Un modo per vederlo è che se li ruoti di 360 “non ottieni indietro lo stesso oggetto, invece, finisci con -1 volte loggetto originale – punta nella “direzione opposta.
Questi sono oggetti strani; tuttavia, questi oggetti sono quelli che descrivono naturalmente gli oggetti di spin 1/2 in fisica.
Questi oggetti esistono a causa della strana proprietà che il gruppo di simmetria ortogonale è doppiamente connesso. Cè una ricca struttura matematica qui, ma questi oggetti sono moralmente la radice quadrata di un vettore – cioè se moltiplichi due spinori insieme ottieni un vettore, come quando moltiplichi due vettori insieme ottieni un secondo tensore di rango come il momento del tensore dinerzia.