Migliore risposta
\ frac {d} {dx} non è una “cosa”. Dovresti pensarlo come se fosse il nome di unazione o di unoperazione o di una funzione che accetta un input. [1]
In particolare, se f (x) è una funzione, potremmo volerlo svolgere lazione di differenziazione su quella funzione; un modo per scrivere questa azione è \ frac {d} {dx} f (x). Ciò significa che f (x) è linput per loperazione di differenziazione-rispetto-a-x.
Grammaticamente, quindi, \ frac {d} {dx} non è “una frase completa” , o anche un nome autosufficiente. È più simile a un verbo, che necessita di un oggetto diretto. Quelloggetto diretto può essere qualsiasi funzione di x – in particolare, se y è una funzione di x, allora \ frac {d} {dx} y ha senso scrivere . In inglese, questa frase significa “il risultato di prendere la derivata-rispetto-a-x di y”. Per brevità, di solito lo scriviamo come \ frac {dy} {dx}, ma finché non ti senti a tuo agio con la notazione \ frac {d} {dx}, ti suggerisco di continuare a scrivere linput per loperazione di differenziazione sulla destra, come ho fatto io.
Alla tua seconda domanda: la regola della catena è il metodo per calcolare una derivata di una composizione di funzioni.
[1] Sì, lo so, anche le funzioni sono cose.
Risposta
Sia f la funzione:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ right) dove x\_ {1} = x\_ {1} \ left (t \ right), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ left (t \ right)
Lascia “s calcola \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Differenziando (1) otteniamo:
(2) df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f } {\ partial x\_ {n}} dx\_ {n}
Se dividiamo entrambi i lati per dt il risultato è:
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Otteniamo il risultato finale:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} x “\_ {1} (t) + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {n}} x “\_ {n} (t) Questa derivazione viene eseguita utilizzando la definizione di differenziale di una funzione multivariabile (equazione (2)).
Quindi come abbiamo ottenuto questa definizione? Vediamo prima come definiamo f differenziabili in un certo punto A.
Se possiamo mostrare che il differenziale totale di una funzione f in un certo punto A è simile a questo:
\ triangolo f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ triangle x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
dove p\_ {k} è un coefficiente numerico, \ omega è una funzione che ha una proprietà che \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 e \ rho (X, A) è la distanza euclidea tra A e X quindi diciamo che la funzione f può essere differenziata nel punto A.
Ora, avremo bisogno di un altro teorema:
Lespressione \ omega (X) \ rho (X, A) da quanto sopra può essere scritto come:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Dimostrazione:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ sinistra (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ right) \ right)
poiché | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), perché | x\_ {k} -a\_ {k} | è il bordo di un d \ rho (X, A) è la diagonale del parallelepipedo ad angolo retto che possiamo prendere come frazione \ epsilon\_ {k} (X).
Ora abbiamo bisogno di un solo teorema in più per arrivare al differenziale. Questo teorema ci fornisce le condizioni necessarie per avere il differenziale della funzione.
Se la funzione f è può essere differenziato in un punto A, allora ci sono differenziali parziali in quel punto ed è vero che:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Prova:
Dato che abbiamo detto che f può essere differenziato nel punto A possiamo scrivere:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Diciamo che le n-1 variabili qui sono costanti e lasceremo che una sola modifica poco a poco. Ad esempio: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, otteniamo:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. Sul lato sinistro abbiamo il differenziale rispetto a x\_ {1}. Se dividiamo entrambi i lati per x\_ {1} -a\_ {1} = \ triangolo x\_ {1} otterremo:
\ frac {\ triangle f\_ {x\_ {1}}} {\ triangle x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Ora, se x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , cioè \ triangle x\_ {1} \ mapsto 0, sul lato sinistro abbiamo un differenziale parziale rispetto a x\_ {1}, e sul lato destro abbiamo p\_ {1} perché abbiamo detto che \ omega (X) \ mapsto 0. È facile vedere che lo stesso risultato si applica indipendentemente dalla variabile che finiamo per cambiare, quindi abbiamo dimostrato questo teorema. Da qui abbiamo che
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ { n}} dx\_ {n} che abbiamo utilizzato per trovare la soluzione.