Migliore risposta
Non cè davvero una definizione generale di spazio in matematica. Quasi ogni oggetto a cui possiamo pensare visivamente può essere chiamato spazio. Spazi metrici, varietà, spazi di Hilbert, orbifold, schemi, spazi di misura, spazi di probabilità e stack di moduli sono tutte cose che chiamiamo spazi.
La cosa più vicina a una definizione generale di spazio è la probabilità, la nozione di a spazio topologico. Ad esempio, spazi metrici, varietà, spazi di Hilbert, orbifold e schemi sono tutti spazi topologici con un po più di struttura.
Uno spazio topologico è costituito da un insieme di punti, X e una raccolta di sottoinsiemi di X che chiamiamo “aperto”, soggetto alle condizioni che
- linsieme vuoto e X stesso siano aperti,
- qualsiasi unione di insiemi aperti è aperta,
- E lintersezione di una coppia di insiemi aperti è aperta.
Gli insiemi aperti dovrebbero essere come i sottoinsiemi aperti di \ mathbb {R}. A rischio di essere vaghi, pensiamo agli insiemi aperti come quei sottoinsiemi U di X in modo che ogni punto di U possa essere spostato un po senza lasciare U. Questo è letteralmente il caso di \ mathbb {R}, poiché il insiemi aperti sono definiti come i sottoinsiemi U in modo che per tutti gli x \ in U ci sia un \ epsilon> 0 così che (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ subset U (cioè spostando x di meno di \ epsilon non si tradurrà in un punto al di fuori di U).
Si scopre che questa quantità minima di informazioni – un insieme di punti e una raccolta di sottoinsiemi aperti – è sufficiente per dire se le funzioni sono continue. Questo rende gli spazi topologici davvero utili.
Daltra parte, non tutti gli spazi in matematica sono uno spazio topologico, o anche, come altri hanno risposto, un insieme di punti con qualche struttura extra. Questo era qualcosa che mi ha stupito di apprendere alcuni semestri fa.
Il controesempio che ho in mente è lidea di uno stack di moduli, che (questo diventa strano!) È un tipo particolare di funtore F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, dove la prima immagine di ogni oggetto D di \ mathcal {D} è pensata come la raccolta di funzioni continue da D allo spazio che F dovrebbe rappresentare.
Come diavolo è questo uno spazio? Per avere un po di intuizione, si consideri linsieme di funzioni continue da uno spazio costituito da un singolo punto in uno spazio topologico, X. Per ogni punto p \ in X, otteniamo una funzione che porta il singolo punto a p. In questo senso, linsieme di funzioni continue da un punto a X descrive i punti di X. Se consideriamo le funzioni da qualcosa di più elaborato, diciamo un segmento di linea, in X iniziamo a farci unidea di come i punti di X sono correlati a lun laltro – quali possono essere collegati tra loro da un percorso, quali sono vicini e quali sono lontani tra loro, e così via. Considerando tutti i possibili insiemi di funzioni in X possiamo effettivamente dedurre esattamente che cosè X. Questa è unidea che prende il nome di Yoneda Lemma . Lidea di uno stack di moduli è di usarla come metafora: qualsiasi funtore che “assomiglia” a descrivere funzioni in uno spazio topologico può essere utilizzato per definire uno “spazio”.
Quello che voglio sottolineare Ecco: ci sono molti tipi di spazi in matematica, ma se vuoi avere unidea fondamentale di cosa sia uno spazio, dovresti studiare gli spazi topologici. Detto questo, le cose si fanno strane!
Risposta
Spazio di per sé “t non ha una definizione formale. È quasi una versione matematica della parola “cosa”. Forse un sinonimo più vicino è “insieme”, ma la parola “spazio” indica che cè qualche ingrediente in più … una struttura … che è anche in gioco. Altrimenti “userebbero semplicemente la parola” set “.
Vari tipi di spazi hanno definizioni. Uno spazio vettoriale è un set di vettori che segue alcune regole. Uno spazio topologico è un set insieme a una speciale raccolta di sottoinsiemi che soddisfano alcune regole. Uno spazio metrico è un insieme insieme a una formula adatta che ti dice la distanza tra i punti nellinsieme. Spesso i tipi speciali di spazi hanno nomi descrittivi come questi.
Altri tipi di spazi prendono il nome da persone che li hanno studiati. Spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev … questi sono tutti tipi speciali di spazi vettoriali con un po di struttura extra questo li rende interessanti a modo loro e prendono il nome da persone che sono state significative nello sviluppo di quella storia.