Migliore risposta
Possiamo rappresentare qualsiasi numero intero positivo n nella notazione in base dieci come n = a\_k10 ^ k + a\_ {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, dove a\_i \ in \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} e a\_k \ neq 0. Quindi n \ geq 10 ^ k. La somma delle cifre è a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Questa disuguaglianza deriva da a\_i \ leq 9. È ora facile vedere che se k \ geq 2 allora 18 (k + 1) 0 ^ k. Ora ci rimangono gli elementi n = 10a\_1 + a\_0. Questi possono essere facilmente controllati con un computer. Ecco come lho fatto con Python
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Quindi, lunico numero intero positivo che è il doppio della somma delle sue cifre è 18. Se permettiamo numeri interi non negativi, abbiamo anche 0. Non sono abbastanza sicuro di come questa domanda debba essere interpretata per interi negativi.
Risposta
Il numero N è il prodotto dei primi 100 numeri interi positivi. Se tutte le cifre di N venissero scritte, quale cifra sarebbe accanto a tutti gli zeri alla fine?
Fondamentalmente, stiamo cercando 100! e poi vogliamo scartare tutti gli zeri alla fine, poi vogliamo sapere qual è la prima cifra diversa da zero allestrema destra.
Un modo è calcolare effettivamente 100! utilizzando un programma come bc (calcolatrice da banco su Linux o Unix) e quindi scartare tutti gli zeri per arrivare alla cifra richiesta.
Diamo unocchiata a un altro modo di risolvere il problema usando il principio del divide et impera.
Scartiamo tutti i numeri che finiscono con 1 i. e. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 perché moltiplicando lultima cifra del multiplo precedente (prodotto arrivato fino a quel momento) non cambierà e non ci interessa calcolando 100! sans zero comunque.
Diamo unocchiata ai primi 9 numeri che iniziano con 2 e sono:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Da sinistra a destra, 2 * 3 ti dà 6, 6 * 4 ti dà 24, tieni semplicemente 4 e moltiplicalo per 5 per ottenere 20 (dato che vogliamo scartare zero), ora mantieni 2 e moltiplicalo per 6 per darti 12, di nuovo mantieni solo 2 e moltiplicalo per 7 per darti 4 (su 14) e moltiplicalo per 8 per darti 2 (scartando 3 di 32) e moltiplicalo per 9 per darti 8 ( scartando 1 di 18) e moltiplicandolo per 10 ottieni 8 (scartando 0 o 80). Pertanto, ottieni una singola cifra, che è 8 .
Funzionando in modo simile su 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ti restituisce 8 .
La serie successiva 22, 23…, 28, 29, 30 ti dà 2.
La prossima serie ti offre 4
Continuando in modo simile con le serie rimanenti, otterrai 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 e 2 rispettivamente.
Ora, la finale lavoro è moltiplicare le cifre come sopra a cui siamo arrivati per ciascuna delle serie.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 e moltiplicandole cifre e scartiamo la decima cifra lungo il percorso, arriviamo a 4 come ultima cifra.
Questa è la La risposta finale alla domanda, 4 è la cifra richiesta.