Migliore risposta
1. Radici dei numeri.
Nella scuola primaria ci è stato detto che la radice quadrata di un numero è in effetti una domanda. Quale numero moltiplicato per se stesso, tante volte per ottenere un numero, è la radice. Per esempio. radice quadrata di 9 = 3, poiché 3 × 3 = 9 quarta radice di 16 = 2, poiché 2 × 2 × 2 × 2 = 16 e così via. Tuttavia la natura delle radici è più fondamentale in quanto la sua applicazione ha espanso il sistema numerico dal razionale al reale. In altre parole, per utilizzare loperazione di ricerca delle radici era necessario espandere il sistema numerico in modo che fosse chiuso sotto il operazione di “radicamento” introducendo i numeri irrazionali. I numeri razionali sono chiusi per +, -, ×, ÷ ma non per√. Ad esempio √2 non può essere espresso come rapporto. I pitagorici lo sapevano e avrebbero dovuto tentare di farlo cena, perché non era quadrata, ah, ah, con la loro visione del mondo.
2. Radici di equazioni
La natura di cui ci è stato detto era quando la curva taglia il asse x. Ciò potrebbe accadere una, due, tre volte a seconda del polinomio. Per calcolarle sono state escogitate regole che tutti abbiamo imparato. Quindi è stata posta la domanda. Cosa succede se la curva non taglia lasse x? Allora ovviamente abbiamo una radice immaginaria e ciò si verificava quando b ^ 2-4ac . Ciò richiedeva che unaltra estensione al sistema numerico fosse necessario. Così è stato inventato il sistema numerico complesso, per includere le radici dei numeri negativi. Quindi la natura delle “radici” è stata quella di espandere il sistema numerico oltre i numeri razionali.
Risposta
Immagino che tu intenda “naturale” nel senso di “isomorfismo naturale”. Se qualcosa è “naturale” o “canonico”, significa, grosso modo, che non è il risultato di una scelta arbitraria. È determinato dal suo contesto, naturalmente.
Uno degli esempi motivanti di una cosa “naturale” è lisomorfismo tra uno spazio vettoriale di dimensione finita V e il suo doppio duale V ^ {\ vee \ vee}. Lisomorfismo porta v \ in V in E\_v \ in V ^ {\ vee \ vee}, dove E\_v (\ phi) = \ phi (v) per \ phi \ in V ^ \ vee. Si invia il vettore v alla mappa E\_v che valuta due vettori in v. Questo è naturale; non sono state fatte scelte arbitrarie, è semplicemente caduto direttamente dalle definizioni e dalle relazioni degli oggetti coinvolti.
Ci sono altri isomorfismi tra questi due spazi, o ovviamente, ma questa è “la scelta giusta”. Qualsiasi altra scelta sarebbe innaturale; per esempio, potresti inviare v a E\_ {A (v)}, dove A: V \ to V è un qualche automorfismo lineare arbitrario di V. Ma … perché? Non cè alcun motivo per cui devi introdurre A, dato che hai la scelta naturale v \ mapsto E\_v proprio di fronte a te. Si spera che la differenza tra lisomorfismo “naturale” e “innaturale” sia abbastanza chiara.
Daltra parte, non esiste un isomorfismo naturale da L: V \ a V ^ \ vee. La costruzione di un isomorfismo richiede scelte arbitrarie. Potrei scegliere una base b\_1, \ dots, b\_n e dichiarare L (b\_i) come il doppio vettore che porta b\_i a 1 e tutti gli altri vettori di base a 0. Questo definisce un isomorfismo perfettamente fine, ma potrei fare esattamente lo stesso con qualsiasi altra base e ottenere un isomorfismo diverso e ugualmente valido. Non cè modo di sceglierne uno in modo naturale, dato da Dio *.
Questa è una descrizione molto approssimativa e informale. Può (ed è) reso preciso dalla teoria delle categorie: funtori e trasformazioni naturali forniscono il modo giusto di pensare a ciò che rende qualcosa di “naturale” in un determinato contesto. Ho fatto del mio meglio per trasmettere la mia intuizione per il concetto, che penso sarebbe sufficiente finché non si è pronti per i dettagli (cat) cruenti.
* nonostante teologia / ontologia della matematica