Migliore risposta
Per definizione, ci sono 360 gradi in una rotazione completa; quindi, 45 gradi è la metà della metà della metà di una rotazione completa, vale a dire 1/8 di una rotazione completa.
Prendi un quadrato e traccia delle linee dal centro agli angoli e al punti medi di ogni lato. Questo pone otto angoli uguali attorno al centro; quindi, quegli angoli sono tutti di 45 gradi.
Possiamo anche vedere che otteniamo triangoli rettangoli per ciascuno di questi, dove in ogni caso entrambe le gambe di questi triangoli rettangoli sono uguali (la metà della larghezza di un lato di la piazza). Pertanto, la tangente (nel senso di gamba opposta / gamba adiacente) di 45 gradi è 1.
Risposta
“ Cosè tan (45)? ”
Se x è un numero razionale diverso da zero allora tan x è irrazionale (dimostrato da Lambert, 1761). Non so se sia stata sviluppata una dimostrazione che tan x deve essere trascendentale, sebbene ci sia stata una tale dimostrazione per seno e coseno.)
Ora, 45 è un numero razionale diverso da zero, quindi tan 45 deve essere irrazionale.
La forma più semplice di espressione esatta per questo valore è tan 45. Non puoi esprimerlo più semplicemente e avere lespressione rappresentativa tan esattamente 45.
Se sei interessato a unapprossimazione numerica per avere una buona idea della grandezza e del segno del numero, noi have: tan 45 = 1.619 775 190 543 861 549 982 796 517….
Per coloro che affermano erroneamente nelle loro risposte che tan 45 = 1, hai violato il teorema a cui ho fatto riferimento allinizio. Hai violato il teorema facendo una simile affermazione, e poiché i teoremi richiedono la prova della loro correttezza, qualsiasi violazione di un teorema significa che qualcosa è stato fatto in modo errato. In questo caso, lerrore sta assumendo che tan 45 significhi tan 45 °, se si desidera la tangente (di seno, coseno, cotangente, secante o cosecante di un angolo che è un certo numero di gradi e si desidera utilizzare quel numero, quindi è obbligatorio che tu usi il simbolo ° o moltiplichi quel numero per π / 180. Largomento della funzione tangente non deve avere nulla a che fare con gli angoli: può essere qualsiasi numero reale (eccetto dove vengono generate singolarità come come π / 2) con significato arbitrario. Ora, gli angoli in effetti corrispondono a numeri reali – questo non è vero per lunghezze, durate di tempo, ecc., ma gli angoli hanno questa caratteristica speciale. Gli angoli sono in realtà quantità adimensionali, il che significa che possono essere espresso semplicemente come numeri. Ora, esistono diversi nomi di unità per gli angoli perché è spesso conveniente riferirsi facilmente a diverse dimensioni degli angoli. Ogni nome di unità angolare (semicerchio, radiante, grado, minuto darco, secondo darco, ecc.) corrisponde a un numero si scopre che se hai un cerchio di raggio 3 me un arco di quel cerchio con lunghezza 6 m, langolo sotteso è (6 m) / (3 m) = 2 (notando che i metri al numeratore e al denominatore si annullano a vicenda per dare solo un numero ), ma 2 di cosa. La definizione di un radiante è quellangolo tale che la lunghezza dellarco e il raggio del cerchio sono uguali, 1 rad = (1 m) / (1 m) = 1. Quindi, rad = 1/1 = 1. Poiché rad = 1, abbiamo può scrivere 2 rad = 2 × 1 = 2, quindi la scrittura esplicita di rad nellesprimere il valore di un angolo è opzionale. A volte è molto utile evitare ambiguità (come distinguere una frequenza angolare di 1 rad / s rispetto a una frequenza ciclica di 1 [ciclo] / s = 1 Hz), e insisteremo per includere la rad per una comunicazione chiara anche se è nominalmente facoltativo; in altri casi, non cè ambiguità ed è assolutamente corretto tralasciare il rad.
Ora, 180 ° = π rad, due diverse espressioni che si riferiscono allangolo di un arco semicircolare. Se dividiamo per 180 i lati dellequazione, vediamo: ° = (π / 180) rad = (π / 180) × 1 = π / 180, poiché rad = 1. In altre parole, anche il grado è un numero, ma il suo valore non è 1; quindi, non possiamo scrivere validamente 45 ° = 45 e far cadere semplicemente il simbolo °. Poiché ° rappresenta il numero π / 180, ciò significa 45 ° = 45 (π / 180) = π / 4, il che significa che quando applichi il significato di °, finisci con un numero diverso, un numero che corrisponde al numero di radianti, quindi stai convertendo implicitamente da gradi a radianti. Se scrivi solo 45, questo è uguale a 45 × 1 = 45 rad e non può indicare 45 °. Se non comprendi gli angoli e i loro valori numerici in questo modo, non saremmo in grado di fare cose come la derivata di sin x rispetto a x è cos x ; lespressione dovrebbe essere piuttosto disordinata, indesiderabilmente più disordinata. Troppe contraddizioni e altre cose strane accadono se provi ad agire come se lunità angolare grado avesse valore numerico 1 in modo da poterlo includere liberamente o evitarlo.
Sfortunatamente, i libri di testo di geometria più comunemente usati nelle scuole secondarie si comportano tutti in modo pigro e insegnano agli studenti a essere indebitamente pigri, senza preoccuparsi di scrivere le unità di misura quando sono laureati. Questo errore viene solitamente corretto nei libri di testo di algebra o trigonometria più avanzati, dove ° è sempre scritto quando si intendono i gradi, e quando le unità sono tralasciate si intendono sempre i radianti, corrispondenti alla pratica standard di matematici e fisici professionisti. Non so perché i libri di testo di geometria insistano nel prendere una scorciatoia inaccettabile contraria alla pratica professionale standard, perché gli insegnanti e gli studenti si sentono frustrati nei corsi successivi quando devono insegnare e imparare, rispettivamente, che il simbolo ° è necessario.