Perché [math] \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA) [/ math] è vero?


Migliore risposta

La definizione di traccia come somma delle voci diagonali di una matrice è facile da imparare e di facile comprensione. Tuttavia, non ha (a priori) alcuna bella interpretazione geometrica o di altro tipo — sembra solo uno strumento di calcolo. Attaccarlo da questa prospettiva significa fondamentalmente che sei bloccato con prove computazionali di fatti come tr (AB) = tr (BA).

Non sono “t cattivi , di per sé. Sono facili da capire e certamente ciò che dovrebbe essere mostrato quando qualcuno sta inizialmente imparando lalgebra lineare. Cè un motivo più profondo per cui tr (AB) = tr (BA), ma è piuttosto astratto e in particolare richiede il prodotto tensoriale per poterlo comprendere.

Considera lo spazio degli operatori lineari da un vettore lo spazio V torna a se stesso. Se scegliamo un particolare insieme di coordinate, tali operatori appariranno come matrici quadrate. Tuttavia, cercheremo di evitare il più possibile le coordinate.

Indichiamo con V ^ * lo spazio duale di V, ovvero lo spazio dei funzionali lineari su V — cioè mappe lineari \ lambda tale che se inseriamo un vettore v, \ lambda (v) è uno scalare.

Se quindi prendiamo il prodotto tensoriale V ^ * \ otimes V, è isomorfo allo spazio degli operatori lineari V \ rightarrow V. Lisomorfismo funziona così: se w \ in V, allora (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.

Possiamo anche capire come funziona la composizione sotto questo isomorfismo– -richiamo che la composizione di mappe lineari è esattamente la stessa cosa che moltiplicare le matrici corrispondenti.

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2

quindi

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)

Ora, come funziona il traccia entrare? Bene, cè una mappa naturale da V ^ * \ otimes V al campo degli scalari che funziona in questo modo: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). La cosa sorprendente è che, se si calcola tutto in coordinate, questa è la traccia.

Questo mostra che la traccia, lungi dallessere uno strumento computazionale astratto, è in realtà una mappa fondamentale e naturale in algebra lineare . In particolare, lanalisi di cui sopra fornisce automaticamente una prova che tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).

Ma perché laffermazione più forte tr (AB) = tr ( BA) vero? Bene, calcoliamoli entrambi.

tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ right) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)

Daltra parte:

tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)

Ah , quindi AB corrisponde allaccoppiamento \ lambda\_1, \ lambda\_2 e v\_1, v\_2 in un modo e BA corrisponde allaccoppiamento nellaltro modo, ma una volta eseguita la traccia, vengono accoppiati di nuovo , ea quel punto non ci sarà più alcuna differenza.

Bello.

Risposta

La prova di \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) è un calcolo semplice:

\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =

= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).

Non sono sicuro che questo risponda alla parte “perché” della domanda, nel senso di “Sì, Vedo che il calcolo funziona, ma perché ? “.

Non è spesso possibile spiegare “perché” qualcosa è vero. Qui, forse è utile osservare che AB e BA in realtà condividono molto di più della traccia: hanno lo stesso polinomio caratteristico .

Unaltra osservazione utile è che se A o B sono non singolari (invertibili) allora AB e BA sono matrici simili, semplicemente perché

AB = B ^ {- 1} (BA ) B.

Matrici simili hanno chiaramente gli stessi autovalori, quindi in particolare hanno la stessa traccia. Possiamo argomentare per continuità (su campi in cui ciò ha senso) per concludere che lo stesso vale anche nel caso singolare.

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