Migliore risposta
A causa delle definizioni stesse di \ sin x, \ cos x e \ tan x.
In un triangolo rettangolo con angolo acuto x, abbiamo definito i rapporti trigonometrici come segue:
\ qquad \ sin x = \ dfrac {\ text {opposto}} {\ text {ipotenusa} }
\ qquad \ cos x = \ dfrac {\ text {adiacente}} {\ text {ipotenusa}}
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {di fronte }} {\ text {adiacente}}
Da questo ricaviamo lacronimo SOH-CAH-TOA
Comunque, se prendiamo lespressione per \ tan x e dividiamo numeratore e denominatore da \ text {ipotenusa} otteniamo:
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {opposto} / \ text {ipotenusa}} {\ text {adiacente} / \ text {ipotenusa}} = \ boldsymbol {\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}}
Risposta
Iniziamo con unimmagine (credito: Triangolo destro – da Wolfram MathWorld )
Ci concentreremo su quello sinistro, ma il i due giusti sono molto importanti nella trigonometria.
Userò il con Ricorda che langolo opposto al lato a è \ alpha e langolo opposto al lato b è \ beta.
Ricorda: \ sin {\ alpha} = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ cos {\ alpha} = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ tan {\ alpha} = \ frac {a} {b}
Ora, dividiamo il seno per il coseno:
\ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} = \ frac {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} = \ frac {a} {b } = \ tan {\ alpha}. Possiamo fare la stessa cosa con \ beta. In generale, possiamo fare lo stesso trucco con qualsiasi triangolo rettangolo, quindi deve essere una proprietà intrinseca delle funzioni trigonometriche. Sappiamo cosa sono seno e coseno a causa di come li abbiamo definiti, come quei rapporti particolari.