Risposta migliore
Puoi sempre provare a calcolare alcuni esponenti più piccoli e trovare uno schema ripetitivo per i resti . Calcoliamo il resto di 2 ^ n diviso per 18, iniziando con n = 1:
- n = 1, 2 ^ 1 = 2, il resto è 2;
- n = 2, 2 ^ 2 = 4, il resto è 4;
- n = 3, 2 ^ 3 = 8, il resto è 8;
- n = 4, 2 ^ 4 = 16 , il resto è 16;
- n = 5, 2 ^ 5 = 32, il resto è 14;
- n = 6, 2 ^ 6 = 64, il resto è 10;
- n = 7, 2 ^ 7 = 128, il resto è 2;
- n = 8, 2 ^ 8 = 256, il resto è 4;
- \ cdots \ cdots
Infatti, quando gli esponenti diventano più grandi, non è necessario calcolare le potenze effettive di 2; invece, moltiplichi semplicemente il resto precedente per 2, quindi trovi il nuovo resto da quel risultato. È chiaro che i rimanenti si ripetono ogni 6 numeri. Quindi per lesponente 200, troviamo solo il resto quando 200 è diviso per 6, che è 2. Pertanto, il resto quando 2 ^ {200} è diviso per 18 è uguale al resto per 2 ^ 2, che è uguale 4.
Risposta
2 ^ 4 \ equiv -2 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv (-2 ) ^ 5 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv -32 \ pmod {18}
\ implica 2 ^ {20} \ equiv 4 \ pmod {18}
\ implies (2 ^ {20}) ^ 5 \ equiv 4 ^ 5 \ pmod {18}
\ implies (2 ^ {100}) \ equiv 1024 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ {100}) \ equiv -2 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ {200}) \ equiv (-2) ^ 2 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ {200}) \ equiv 4 \ pmod {18}
\ text {Quindi 4 è il resto quando} \, 2 ^ {200} \, \ text {è diviso per 18}