Migliore risposta
Per essere precisi, non puoi prendere il ricciolo di un singolo vettore. Hai bisogno di un campo vettoriale da prendere il ricciolo, qualcosa del genere:
Il ricciolo è un operatore differenziale che prende un campo vettoriale tridimensionale e sputa un altro campo vettoriale tridimensionale.
Per avere unidea di cosa significa il ricciolo, immagina di avere un campo vettoriale che rappresenta la velocità di un fluido. Cioè, il fluido riempie uno spazio e il “campo di velocità” ci dice qual è la velocità del fluido in ogni punto di quello spazio. Se prendiamo il ricciolo del campo di velocità, otteniamo un nuovo campo vettoriale che ci dice, grosso modo, come il fluido ruota in ogni punto nello spazio. Nello specifico, lampiezza del vettore del ricciolo ti dice la forza della rotazione e la direzione ti dice la direzione di rotazione secondo la Regola della mano destra .
In cartesi an coordinate, il ricciolo può essere calcolato come prodotto incrociato delloperatore del e del campo originale: \ mathrm {curl} (\ vec {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = ( \ frac {\ partial F\_z} {\ partial y} – \ frac {\ partial F\_y} {\ partial z}) \ hat {x} + (\ frac {\ partial F\_x} {\ partial z} – \ frac {\ parziale F\_z} {\ partial x}) \ hat {y} + (\ frac {\ partial F\_y} {\ partial x} – \ frac {\ partial F\_x} {\ partial y}) \ hat {z}
Uno dei motivi principali per cui il curl è importante è la decomposizione di Helmholtz . Fondamentalmente, tutto ciò di cui hai bisogno per caratterizzare completamente un campo vettoriale è la sua divergenza e arricciatura. Questo è usato con grande efficacia, ad esempio, nelle equazioni di Maxwell, che specificando larricciatura e la divergenza dei campi elettrici e magnetici, consentono di risolvere i campi:
Risposta
Persone diverse possono trovare utili analogie / visualizzazioni diverse, ma qui” cè un possibile insieme di “significati fisici”.
Divergenza: immagina un fluido, con il campo vettoriale che rappresenta la velocità del fluido in ogni punto dello spazio. La divergenza misura il flusso netto del fluido fuori (cioè divergente da) un dato punto. Se invece il fluido scorre in quel punto, la divergenza sarà negativa.
Un punto o una regione con una divergenza positiva viene spesso definita” sorgente “(di fluido, o qualsiasi altra cosa il campo sta descrivendo), mentre un punto o una regione con divergenza negativa è un “sink”.
Curl: Torniamo al nostro fluido, con il campo vettoriale che rappresenta la velocità del fluido. Il ricciolo misura il grado di rotazione del fluido intorno a un dato punto, con vortici e tornado che sono esempi estremi.
Immagina un piccolo pezzo di fluido, abbastanza piccolo che il ricciolo sia più o meno costante al suo interno. Anche tu sei molto piccolo e ti viene detto che devi nuotare per un giro attorno al perimetro di quel pezzo di fluido. Scegli di nuotare in senso orario o antiorario? Se larricciatura della velocità è zero, allora non importa. Ma, se è diverso da zero, in una direzione andrai principalmente con la corrente, e nellaltra direzione “andresti per lo più contro la corrente, quindi la tua scelta di direzione sarebbe importante. Il segno del ricciolo ti dirà qual è la scelta giusta.
Gradiente: Mentre è perfettamente valido prendere il gradiente di un campo vettoriale, il risultato è un tensore di rango 2 (come una matrice), quindi è più difficile da spiegare in termini intuitivi (anche se forse qualcun altro lo gestirà). Quindi, invece, parlerò del gradiente di un campo scalare : nello specifico, il campo che fornisce lelevazione del suolo sul livello del mare in un dato punto sulla Terra (specificato, diciamo, in termini di latitudine e longitudine).
In quella situazione, il gradiente è in realtà abbastanza semplice: punta “in salita” (nella direzione più ripida), e la magnitudine indica quanto è ripido. Ad esempio, se la pendenza punta a nord-est con una magnitudine di 0,2, la direzione della salita più ripida è nord-est e ogni metro che percorri a nord-est risulterà in 0,2 metri di dislivello.
Per il gradiente di un campo vettoriale, puoi immaginarlo come il gradiente di ogni componente di quel campo vettoriale individualmente, ognuno dei quali è uno scalare.