Qual è il significato delle invarianti di stress?


Risposta migliore

In poche parole, Invariante è una proprietà che non cambia anche dopo alcune trasformazioni o operazioni matematiche. Un ottimo esempio è fornito in Wikipedia.

Prendiamo il caso della legge gravitazionale di Newton. La forza di gravità tra due corpi sarà la stessa ovunque nelluniverso. La forza di gravità tra questi due corpi sarà la stessa oggi di mille anni fa. Indipendentemente dalla direzione in cui muovi questi corpi, la forza è la stessa. Questo è un esempio di invariante.

Le invarianti di sollecitazione sono le proprietà di una matrice di sollecitazione che non sono influenzate dalla trasformazione. Lo stato di stress può essere rappresentato in termini di una matrice. La componente di sollecitazione idrostatica di questa matrice sarebbe uguale alla media dei termini diagonali della matrice (Tensioni principali). La somma di questi termini diagonali è quella che viene chiamata la prima invariante (chiamata anche traccia della matrice).

Quindi, possiamo suddividere uno stato di matrice come una somma dellidrostatico e del deviatorico sottolinea-

Per determinare i valori Eigen e i vettori Eigen, usiamo lequazione | A – Lamda I | * V = 0. Allo stesso modo, per uno stato di stress, usiamo la seguente equazione che è simile alla forma sopra:

nj = vettore Eigen, Sigma = valore eigen, delta ij = La matrice identità chiamata anche delta di Kronecker. Questa matrice di identità = 1 nella posizione delle diagonali dove i = j ed è uguale a 0 in tutti gli altri posti.

Ora, possiamo stabilire la seguente forma

Se ricordi correttamente, questa è la componente Deviatorica della matrice di stress. Dallequazione caratteristica di seguito, possiamo vedere che gli Invarianti sono i coefficienti dei termini di sollecitazione nellequazione caratteristica.

Dove, I1, I2 e I3 sono gli invarianti della matrice delle tensioni.

a. I1 è la traccia della matrice ed è la somma dei termini diagonali. Primo invariante.

b. I2 è la somma dei minori della matrice. Secondo invariante.

c. I3 = Valore del determinante della matrice. Terzo invariante.

T sono tutti invarianti perché, nonostante la trasformazione eseguita sulla matrice, questi valori rimarranno gli stessi.

Nei passaggi precedenti, abbiamo stabilito la matrice deviatorica e abbiamo capito che è J1 e questo J1 è risultato uguale a 0. Quando J1 = 0, la somma dei termini diagonali = 0. Quindi la media di questo (chiamato anche stress idrostatico = 0. Quindi, lo stress idrostatico della componente deviatorica è uguale a 0, il che significa che è uno stato di PURE SHEAR.

Stress deviatorico e invarianti

Risposta

Lo stress è solitamente rappresentato come un tensore simmetrico del secondo ordine, che può essere pensato come una matrice 3 * 3. Ora ogni tensore ha qualcosa chiamato gli invarianti che non cambiano con un cambio di base. Ci sono tre invarianti principali per un tensore di secondo o ordine (stress, deformazione, momento dinerzia rientrano tutti sotto questo). Questi rimangono gli stessi anche se il b asis è cambiato. Per capire cosa intendiamo per cambiamento di base, pensiamo a un problema elementare di forza del materiale, in cui proviamo a trovare le sollecitazioni normali e di taglio risultanti su un piano inclinato a un dato insieme di assi coordinate (la nostra base). Possiamo fare tutte le cose del cerchio di Mohr e trovare le componenti di stress lungo la nuova base (nuovi assi coordinati che sono lungo e perpendicolari allinclinazione). Quindi, se consideri il tensore delle tensioni prima e ora, è cambiato elemento per elemento (entrambi sono però simmetrici) ma le quantità seguenti rimangono le stesse

  1. Traccia di matrici
  2. Traccia del cofattore delle matrici
  3. Determinante delle matrici.

Questi sono i tre principali “invarianti”.

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