Migliore risposta
T\_n (x), lennesimo polinomio di Chebyshev del primo tipo, soddisfa
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
Stiamo cercando T\_ {10} (x). Conosciamo i primi:
T\_0 (x) = 1 \ quad perché \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad perché \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad perché \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad perché \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
Possiamo calcolare facilmente le potenze di due,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2-1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8 – 256 x ^ 6 + 160 x ^ 4-32 x ^ 2 + 3
In generale T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)) che segue abbastanza rapidamente da \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
T\_n (x) soddisfa la ricorrenza
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Poiché T\_0 (x) e T\_1 (x) hanno coefficienti interi, la ricorrenza ci dice che tutti i T\_n (x) hanno coefficienti interi.
Deriviamo la ricorrenza . Iniziamo dimostrando unidentità trigonometrica, una formula dellangolo di somma alternativa che utilizza solo il coseno:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Ora,
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
o lasciando x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Ora possiamo calcolare T\_ {10} (x) abbastanza facilmente,
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6-400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
Così finalmente otteniamo la nostra risposta,
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Risposta
Lascia x = theta per semplificare la digitazione.
Ricorda che la moltiplicazione è ripetuta d addizione.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
Un modo per trovare cos (10x) è applicare il identità per il coseno della somma di due angoli 9 volte, insieme allidentità simile per seno.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – sin (9x) sin ( x)
Ora sostituisci 9x con 8x + x
e poi applica di nuovo con attenzione le identità senza perdere cos (x) e sin (x) già nel problema.
Quindi ovunque vedi 8x sostituiscilo con 7x + x e applica di nuovo le identità.
Continua… ..
Potresti voler salire invece che giù.
Trova cos (3x), poi cos (4x), ecc.
Mentre lavori chiediti se potrebbe esserci un modo più veloce.
Una volta che abbiamo una formula per
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)
potresti provare a pensare
a cos (4x) come cos (2x + 2x)
e cos (8x ) come cos (4x + 4x).
Quindi cos (10x) come cos (8x) + cos (2x).
Potresti Voglio anche semplificare il risultato per cos (2x) e possibilmente usare unidentità pitagorica per mantenere il problema in termini di solo coseno senza alcun seno nel risultato.