Migliore risposta
So cosa stai chiedendo ma per favore impara le convenzioni di scrittura. Dovrebbe essere scritto cos (1/2).
Per rispondere alla tua domanda, dovrai usare una calcolatrice qui. Non cè modo di calcolarlo a mano. Unaltra cosa è il valore in radianti o gradi. Darò entrambi qui. È 0,99996 in gradi e 0,8775 in radianti.
Risposta
Molte persone si arrabbiano quando qualcuno afferma che 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . Non sono una di quelle persone, ma credo che se inizi a fare una dichiarazione come questa, dovresti avere ben chiaro in mente di cosa si tratta che intendi.
Di solito, quando definisci una somma infinita di elementi a\_n la definisci come:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Se il limite esiste e ha un valore finito, diciamo che la somma infinita converge , e diciamo che è uguale a detto limite. Quindi, ad esempio:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Ci sono, tuttavia, molte somme infinite che divergono e di solito non assegniamo a queste un valore. Un esempio di questo:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {non esiste.}
Si può anche controlla che:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
che non converge — quindi, la serie 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots è divergente, quindi la normale definizione di limite non gli assegna un valore.
Tuttavia, ci sono modi in cui puoi può estendere questa definizione. Cioè, puoi trovare modi per assegnare un valore finito a serie divergenti che ancora concordano con i valori che otteniamo nel modo usuale per le serie convergenti.
Il problema è che poiché questi metodi, da la loro stessa natura, in realtà non corrispondono a nulla di fisico *, quindi il meglio che possiamo sperare è che tali metodi abbiano buone proprietà formali. In particolare, vorremmo richiedere che soddisfino i seguenti assiomi:
1.) (Regolarità) Se \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n è convergente, allora il metodo della somma concorda con metodo usuale per prendere il limite.
2.) (Linearità) Se \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A e \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B sono sommabili , allora abbiamo \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Se r è un numero reale, allora \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (Stabilità) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Questi assiomi sono abbastanza utili. Ad esempio, mostri che qualsiasi metodo di somma che soddisfa questi tre assiomi deve valutare 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1, poiché:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Si noti che sia la linearità che la stabilità giocano un ruolo importante in questa dimostrazione. La stabilità ci consente di “estrarre” l1 davanti e la linearità ci consente di escludere il 2.
Qualsiasi metodo di somma di questo tipo deve anche valutare 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / 2. La dimostrazione è simile:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Tuttavia, ci saranno serie divergenti che non possono essere valutate con alcun metodo di somma che soddisfi questi tre assiomi. Ad esempio, supponiamo di poter assegnare un valore finito s alla serie 1 + 1 + 1 + \ ldots. Allora avremmo:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Oops. Sfortunatamente le cose peggiorano, perché ne consegue che nessun metodo di somma che soddisfi questi tre assiomi può valutare 1 + 2 + 3 + \ ldots, poiché:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (per stabilità) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (per linearità)
Quindi, se vuoi definire un metodo di sommatoria che valuta 1 + 2 + 3 + \ ldots, devi eliminare linearità o stabilità. Ci sono diversi approcci — alcuni sacrificano uno, altri sacrificano laltro.
Questo è, sfortunatamente, indicativo di come va la somma di serie divergenti: hai molti metodi diversi per sommarli, e loro no daccordo sempre. Spesso concordano per serie importanti, ma se stai affermando qualcosa come 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, allora è meglio che sia assolutamente chiaro quale metodo di somma stai usando.
Come teorico dei numeri, il mio approccio preferito è la regolarizzazione della funzione zeta. Lesempio di base di questo è questo: considera la funzione zeta di Riemann \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Questa formula è convergente solo se la parte reale di s è maggiore di 1.Tuttavia, esiste un modo standard per estendere la funzione zeta di Riemann in modo che sia una funzione sullintero piano complesso (beh, hai alcuni poli, ma sebbene sia importante, è una questione tecnica) — questo è chiamato analitico continuazione, che si ottiene esplicitamente trovando unequazione funzionale per la funzione zeta.
Usando la continuazione analitica, si trova che \ zeta (-1) = -1/12. Ma, se “lo colleghi” alla tua espressione originale della funzione zeta, ottieni:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
Ecco come funziona la regolarizzazione della funzione zeta: associ una funzione zeta alla tua serie , quindi usa la continuazione analitica per associare un valore finito alla serie.
Questo è, per molti versi, un gioco formale che, sebbene interessante, probabilmente non dovrebbe essere pensato come corrispondente a qualcosa di tangibile.
* Sì, sono consapevole del fatto che serie e integrali divergenti vengono utilizzati nei calcoli nella teoria quantistica dei campi. Tuttavia, direi che tali metodi sono uno strumento di calcolo più che uninterpretazione fisica di ciò che sta realmente accadendo. Inoltre, a questo punto non disponiamo di un modello matematicamente rigoroso della teoria quantistica dei campi, quindi qualsiasi strana chimera che non dovrebbe essere può ancora essere reinterpretata o rimossa completamente.