Risposta migliore
La domanda che fai non ha senso. Suppongo che sia cos (20 °).
Sappiamo cosè cos (60 °) e la cosa buona è 60 ° = 3 * 20 °.
Sappiamo che cos ( 3θ) = 4cos ^ 3 (θ) −3cos (θ)
Metti θ = 20 °, nellidentità sopra e assumendo t = cos (20 °) abbiamo
1 / 2 = 4 * t ^ 3–3t
8 * t ^ 3–6t-1 = 0.
Sia p (t) = 8 * t ^ 3–6t- 1
p (-1) = – 3, p (-1/2) = 1, p (0) = – 1 e p (1) = 1, implica che p ha tre radici reali di cui solo uno è positivo (che è compreso tra 0 e 1).
Come sappiamo cos (20 °) è un numero positivo, la radice positiva del polinomio sopra è il valore di cos (20 °).
Alcune stime utilizzando il metodo di bisezione con 2–3 iterazioni ti daranno 0,94.
Quindi cos (20 °) = 0,94 (circa)
Risposta
Dovresti riuscire a trovarla usando lidentità trigonometrica: \ sin (3x) = 3 \ sin (x) – 4 \ sin ^ {3} (x)
(Presumo che questo derivi dallidentità: sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y), ma usato due volte. Ad essere onesto, lho solo cercato. )
Ora che lo sappiamo, crea x = 20.
\ sin (60) = 3 \ sin (20) – 4 \ sin ^ {3} ( 20)
Quindi fai due sostituzioni. \ sin (60) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} e y = sin (20)
\ frac {\ sqrt {3}} {2} = 3y – 4y ^ { 3}
E poi con qualche manipolazione:
y ^ {3} – \ frac {3} {4} y + \ frac {\ sqrt {3}} {8} = 0
Non resta che risolvere per y. Risolvere i cubi a mano è un problema , ma ti indico qui: come posso risolvere unequazione di terzo grado? Quindi agiterò un po le mani e risolverò il problema qui: Motore di conoscenza computazionale
Ottieni 3 soluzioni. Uno negativo (non corretto), gli altri due sono circa .34 e .64.
Qual è? sin (30) = .5, e poiché sappiamo che la funzione seno aumenta fino a 90 gradi, la soluzione è approssimativamente .34.
Allora, qual è la soluzione esatta? Secondo Wolfram Alpha:
Questo dovrebbe fornire un numero reale, ma non ho intenzione di semplificarti quel casino per te .
Basti dire che si può fare, ma non sorprende che sia un enorme mal di testa.