Risposta migliore
Sul cerchio unitario la coordinata x è cos (x).
Prendi il limite quando x si avvicina a 90 gradi. Quello che vedi è che la coordinata x si avvicina a 0 perché il raggio si avvicina a una linea perpendicolare (quindi nessun componente x)
Prendi il limite di sinistra ed è lo stesso.
Il triangolo ovviamente si rompe.
Ecco unimmagine per chiedere aiuto:
Come puoi vedere, la linea grigia (cosx) diventa sempre più piccola.
Questo è. Cos (90) è 0. Quello “è 90 gradi e non radianti.
Se in radianti è qualcosa come −0.448073616129.
Risposta
Lascia che ti dia un complesso più risposta.
Sia, \ frac {A} {2} = x.
Quindi, A = 2x
Abbiamo,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
Prendiamo la formula di Eulero,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Se ricordiamo questa formula, allora possiamo capirlo,
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), poiché solo \ sin è una funzione dispari, f (-x) = – f ( x) e \ cos è pari, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Quindi, finiamo con la formula.
Inoltre, per \ sin,
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Dove i è lunità immaginaria . (i ^ 2 = -1)
Ora, lasciamo a memoria la formula per \ cos (2x), (dal plugin di x per 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Iniziamo a derivare la nostra formula.
A partire da \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
Espandendo, otteniamo,
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Ora, {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ volte a ^ c = a ^ {b + c},
(Quindi, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Ora, calcoliamo \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Se sottraiamo \ sin ^ 2 (\ theta) da \ cos ^ 2 (\ theta), otteniamo,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Cancelliamo gli svantaggi, nel denominatore di \ sin ^ 2 (\ theta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
Sommando, possiamo annullare -2 + 2 a 0, dopodiché otteniamo,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
che è la stessa formula per \ cos (2x) di cui abbiamo discusso prima. Quindi dimostrato.
Ma abbiamo unaltra cosa da fare. Plugin, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
che è la stessa formula per cos (A)
Quindi, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Grazie per A2A