Migliore risposta
Si è tentati di scrivere
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Quindi potremmo scrivere
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Questo fa la somma:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
Non mi piace così tanto per un paio di motivi. Innanzitutto ignora la domanda su quanti valori ha \ sqrt {i}.
Abbiamo definito il radicale applicato a un numero reale come valore principale, quindi y = \ sqrt {x} è una funzione . Il valore principale di una radice quadrata complessa è più complesso (una regola come langolo minimo non negativo) e non funziona così bene.
La mia opinione è che la politica migliore è dire che abbiamo due radici quadrate . \ sqrt {i} è multivalore, lo stesso di i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Il secondo problema che ho con la formulazione esponenziale è il salto immediato alle coordinate polari. Prendiamo automaticamente un percorso tortuoso che coinvolge le funzioni trascendentali e le loro inversioni. La radice quadrata di un numero complesso non lo richiede. Possiamo controllare
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
dove abbiamo bisogno di un \ textrm non standard {sgn} (0) = + 1.
Abbiamo a = 0, b = 1 quindi
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Non sono necessarie funzioni trigonometriche. Allo stesso modo a = 0, b = -1 restituisce
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
La somma sembra avere quattro valori possibili:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Calcoliamo i valori di parentesi.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
quindi abbiamo quattro valori, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Possiamo scrivere come
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad for integer k
Cè un altro problema da considerare. A volte, quando scriviamo espressioni che sembrano essere coniugate, significa che quando vengono considerati più valori, la relazione coniugata viene mantenuta. Un esempio è il cubo depresso:
x ^ 3 + 3px = 2q ha soluzioni
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Ciascuna di queste radici cubiche ha tre valori sui numeri complessi. Ma il cubo stesso ha solo tre soluzioni. Quindi, anche se potremmo essere tentati di interpretare questa espressione come nove valori diversi, sappiamo che dovrebbe essere solo tre. Le due radici del cubo devono essere coniugate, quindi devono essere accoppiate come tali.
In questa interpretazione aggiungiamo sempre coniugati in modo da ottenere solo le soluzioni reali:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} o (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } che è \ pm \ sqrt {2}.
Infine, se interpretiamo il radicale come valore principale, otteniamo \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} nel primo quadrante, e dobbiamo scegliere tra il secondo e il quarto quadrante per il valore principale di \ sqrt {-i}. La regola dell “angolo minimo positivo” suggerisce il secondo quadrante, \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} quindi
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Un po di confusione, tutte queste diverse interpretazioni.
Risposta
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {e} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega è la terza radice di unità: z ^ 3 = 1.
Le radici di questa equazione sono: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
Abbiamo: u ^ 3 = 2 + 2i e (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Quindi:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ left (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {con} \; k \ in {0,1 , 2}
\\\ iff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {con} \; k \ in {0,1,2}
Quindi:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
Otteniamo:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ text {o} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {o} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3