Risposta migliore
Se non stai trollando, presumo che tu voglia il valore esatto di \ sin 38. (Perché? Chissà.) Descriverò come arrivare a quel valore esatto. Usiamo due affermazioni. Se conosciamo il valore esatto di \ sin x, possiamo calcolare il valore esatto di \ sin nx per tutti gli interi n. Inoltre, se conosciamo il valore esatto di \ sin x, possiamo calcolare il valore esatto di \ sin \ frac {x} {3}.
Quanto sopra significa che, se dovessimo trovare \ sin 1, quindi potremmo trovare \ sin N per qualsiasi numero intero N.
Quindi dimostriamo le asserzioni:
Asserzione 1 : se conosciamo il valore esatto di \ sin x, possiamo trovare il valore esatto di \ sin nx, per lintero positivo n. (Seguono i valori negativi).
Dimostrazione : Usiamo linduzione su n. Ovviamente, laffermazione è vera per n = 1. Prima di continuare, nota che la conoscenza di \ sinx implica la conoscenza di \ cos x. Ora \ sin (n + 1) x = \ sin (nx + x) = \ sin nx \ cos x + \ cos nx \ sin x e abbiamo finito.
Asserzione 2 : se conosciamo il valore esatto di \ sin x, possiamo trovare il valore esatto di \ sin \ frac {x} {3}.
Prova : questa è più interessante. Per largomento, sia \ sin \ frac {x} {3} = a. Ora \ sin x = 3 \ sin \ frac {x} {3} −4 \ sin ^ 3 \ frac {x} {3} o 4a ^ 3–3a + \ sin x = 0 dove conosciamo \ sin x. Poiché questo è un cubo, può essere risolto esattamente.
Conosciamo \ sin 36 e \ sin 30, quindi conosciamo \ sin 6 e quindi \ sin 3 e infine \ sin 1.
Risposta
19pi / 8 = 2pi + 3pi / 8
3pi / 8 = pi / 2-pi / 8
sin (3pi / 8 ) = sin (pi / 2-pi / 8) = cos (pi / 8)
pi / 12 = 2pi / 24 = pi / 8-pi / 24
pi / 8 = pi / 12 + pi / 24
cos (pi / 8) = cos (pi / 12) * cos (pi / 24) -sin (pi / 12) * sin (pi / 24)
pi / 24 = (pi / 12) / 2 = a
sin (pi / 12) = 0.2588 = sin (2 * pi / 24) = 2sin (a) cos (a)
cos (pi / 12) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) = cos (a) ^ 2-sin (a) ^ 2 = 1–2sin (a) ^ 2
sin (a) = sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = sin (pi / 24)
cos (a) = sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = cos (pi / 24)
cos (pi / 8) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) * sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) -0.2588 * sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2)
S0 va.