Migliore risposta
Se non vogliamo utilizzare le tabelle trigonometriche, possiamo ottenere un valore approssimativo di \ tan 27 ^ o usando lespansione di Taylor di \ tan x.
La serie di Taylor di una funzione a valori reali o complessi f (x), che è infinitamente differenziabile a un numero reale o complesso a, è data da
f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, dove f ^ {(n)} (a) è il valore della derivata n ^ {th} in x = a.
Nota che langolo deve essere espresso in radianti.
Siano f (x) = \ tan x e a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} radianti.
\ Rightarrow \ qquad f “(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3}, e,
\ qquad f “” (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
Vogliamo il valore di \ tan 27 ^ o = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Quindi, usando solo i primi due termini della serie di Taylor, otteniamo ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f “(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0.507537.
Lerrore in questo valore è -0.3902 \\%.
Utilizzando solo i primi tre termini della serie di Taylor, otteniamo,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f “(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f “” (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0.508592.
Lerrore in questo valore è -0.1831 \\%.
Se vogliamo una maggiore precisione possiamo usare più termini.