Migliore risposta
La carica su 1 protone è 1,6 x 10 ^ -19C. Lelettrone ha la stessa grandezza, ma andando nella direzione opposta, quindi un segno negativo di fronte ad esso: -1,6 x 10 ^ -19C
Risposta
TL; DR Lelettrone ottiene la sua carica accoppiandosi al campo elettromagnetico. Pensiamo che la forza di questo accoppiamento (grandezza della carica) debba essere tale da annullare precisamente le altre cariche nella sua generazione.
Ciao! Bella domanda.
Vorrei assumere una certa familiarità da parte del lettore con il calcolo quando rispondo a questa domanda, in particolare la differenziazione. Se la mia supposizione fosse ignorante o falsa, potresti dover semplicemente fidarti delle mie manipolazioni matematiche.
Questa discussione non affronterà le cariche dei bosoni vettoriali pesanti che mediano linterazione debole. Questo è molto al di fuori dello scopo di questa domanda.
Cè un concetto fondamentale in fisica che apparentemente governa levoluzione della Natura, il Principio di Minima Azione. Fondamentalmente dice che cè una quantità in ogni sistema chiamato lazione che è stazionaria nelle varianti del primo ordine. Lazione, S, è definita come segue:
S = \ int\_ {t\_ {1}} ^ {t\_ {2}} Ldt,
dove la “L” maiuscola è lunica lagrangiana del sistema. Il principio di minima azione può essere affermato matematicamente:
\ delta S = \ delta \ int\_ {t\_ {1}} ^ { t\_ {2}} Ldt = 0
Da questo, si può derivare un insieme di equazioni differenziali chiamate equazioni di Eulero-Lagrange:
\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q} \_ {i}} \ right) = \ frac {\ partial L} {\ partial q\_ {i}} .
Una di queste equazioni esiste per ogni coordinata generalizzata q\_ {i}. Se la lagrangiana è nota, allora queste equazioni possono essere valutate per dare un insieme di equazioni differenziali del moto che descrivono la tim levoluzione del sistema. Data una serie di condizioni iniziali, il comportamento è unico.
Fino ad ora, la discussione è stata piuttosto classica. Lorigine della carica, tuttavia, è una questione per il regno quantistico. Le energie a questa scala richiedono anche considerazioni relativistiche. Quindi passiamo alla teoria quantistica dei campi. Vorremmo usare il principio di minima azione qui, ma la relatività ci insegna a trattare lo spazio e il tempo allo stesso modo, quindi le derivate devono riflettere questo. Le equazioni di Eulero-Lagrange si trasformano come segue:
- La Lagrangiana L diventa la densità Lagrangiana \ mathcal {L}, che come ci si può aspettare, è la Lagrangiana per unità di volume.
- Le derivate temporali diventano quattro gradienti, \ partial \_ {\ mu}.
- Le “coordinate” diventano “campi”, \ phi\_ {i}
La generalizzazione relativistica delle equazioni di Eulero-Lagrange è, quindi,
\ partial \_ {\ mu} \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ left (\ partial \_ {\ mu} \ phi\_ {i} \ right)} \ right) = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ phi\_ {i}}.
La densità lagrangiana per ogni fermione libero di spin-1/2 è data dalla Lagrangiana di Dirac (densità Lagrangiana – Dora in poi, la il termine “Lagrangiano” si riferirà alla densità.):
\ mathcal {L} = \ bar {\ psi} \ left [i \ left (\ hbar c \ right) \ gamma ^ {\ mu } \ partial \_ {\ mu} -mc ^ {2} \ right] \ psi.
\ psi è il campo di spinori del fermione in questione e \ gamma ^ {\ mu} è una matrice di Dirac (se non hai familiarità con questi, ti imploro di fare riferimento la voce di Wikipedia appropriata). Se questa lagrangiana è inserita nellequazione di Eulero-Lagrange generalizzata, si può trovare lequazione di Dirac delle particelle libere (in realtà, dipende dal campo con cui decidiamo di lavorare; lo spinore aggiunto ci darà lequazione di Dirac, mentre lo spinore stesso produrrà laggiunto dellequazione di Dirac).
Ora pensiamo a quali simmetrie ha questa equazione. Come possiamo trasformare il campo di spinore in modo che le equazioni del moto rimangano invariate? risulta che la Lagrangiana di Dirac è invariante rispetto alle trasformazioni U (1) globali, quelle della forma
\ psi \ rightarrow e ^ {i \ theta} \ psi, o \ bar {\ psi} \ rightarrow e ^ {- i \ theta} \ bar {\ psi}.
È un esercizio semplice ma importante per dimostrarlo. Questo ruota tutto lo spazio di un certo angolo \ theta, ma in realtà non significa molto, lo fa. Ruotare tutto lo spazio equivale a guardare lo stesso sistema per una posizione diversa. Imponiamo una condizione un po più forte, vero? Supponiamo che langolo sia una funzione della posizione nello spaziotempo,
\ theta \ rightarrow \ theta \ left (x ^ {\ mu} \ right ),
in modo da applicare una trasformazione di fase locale :
e ^ {i \ theta} \ rightarrow e ^ {i \ theta \ left (x ^ {\ mu} \ right)}.
Questo crea un problema! Cè un nuovo termine come risultato della derivata dellangolo:
\ mathcal {L} \ rightarrow \ mathcal {L} – \ hbar c \ left (\ partial \_ {\ mu} \ theta \ right) \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi
Come risolveremo questo problema?
Bene, per semplicità, introduciamo una nuova variabile,
\ lambda \ left (x \ right) = – \ frac {\ hbar c} {q} \ theta \ left (x \ right),
dove q è una sorta di fattore di scala. La lagrangiana diventa
\ mathcal {L} \ rightarrow \ mathcal {L} + \ left (q \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) \ partial \_ {\ mu } \ lambda \ left (x \ right).
Se richiediamo linvarianza di gauge U (1) locale, dobbiamo trovare qualcosa per tenere conto del termine aggiuntivo che abbiamo introdotto. Questo naturalmente ci allontanerà dalla lagrangiana di Dirac gratuita . Supponiamo di aggiungere un termine nella forma – \ left (q \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) A \_ {\ mu}, per alcuni vettore campo A \_ {\ mu} che si trasforma come A \_ {\ mu} \ rightarrow A \_ {\ mu} + \ partial \_ {\ mu} \ lambda. Questo termine esattamente compenserà il termine aggiuntivo nella nostra lagrangiana invariante di fase locale. Questo nuovo termine, tuttavia, include il nostro campo spinore fermionico e il nuovo campo vettoriale; è un termine di interazione. Abbiamo bisogno di un termine “campo libero” per una Lagrangiana completa. Come campo vettoriale, A \_ {\ mu} dovrebbe essere descritto dalla Lagrangiana di Proca per bosoni di spin-1:
\ mathcal {L} = – \ frac {1} {16 \ pi} F ^ { \ mu \ nu} F \_ {\ mu \ nu} + \ frac {1} {8 \ pi} \ left (\ frac {m\_ {A} c} {\ hbar} \ right) ^ {2} A ^ {\ mu} A \_ {\ mu}, dove
F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ left (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} – \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right).
Sorge ancora un altro problema: mentre il primo termine è localmente invariante, il secondo termine è non . Quindi il campo vettoriale deve essere senza massa! Ora aggiungendo la Lagrangiana di Dirac libera, la Lagrangiana di Proca per un campo vettoriale senza massa e il termine di interazione, otteniamo la Lagrangiana elettromagnetica completa:
\ mathcal {L} = \ bar {\ psi} \ left [ i \ left (\ hbar c \ right) \ gamma ^ {\ mu} \ partial \_ {\ mu} -mc ^ {2} \ right] \ psi- \ frac {1} {16 \ pi} F ^ {\ mu \ nu} F \_ {\ mu \ nu} – \ left (q \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) A \_ {\ mu}.
Il primo termine rappresenta fermioni liberi di spin-1/2. Il secondo rappresenta bosoni liberi di spin-1 che interagiscono con i fermioni per mezzo del terzo termine. Questi bosoni privi di massa sono, a quanto pare, fotoni, che mediano le interazioni elettromagnetiche tra particelle cariche. Il campo vettoriale A \_ {\ mu} è il potenziale elettromagnetico, che era solo un trucco matematico nellelettrodinamica classica, ma qui è una quantità più fondamentale. E come avrai intuito, F ^ {\ mu \ nu} è il tensore di campo, che contiene ordinatamente tutte le informazioni sui campi elettrici e magnetici.
Ora torniamo alla domanda originale: cosa dà un elettrone la sua carica? Ricordi q, quel piccolo fattore di scala che ho menzionato prima? Questa è proprio la carica dei fermioni interagenti. Noti come appare solo nel termine di interazione? La carica di una particella è proprio la forza con cui si accoppia ai fotoni, i quanti del campo elettromagnetico. Ma perché è “negativo?” Questo è un po più complicato da spiegare. Approssimativamente, le teorie di unificazione standard richiedono che le cariche in ogni generazione si sommino a zero per cancellare certe anomalie, infiniti che compaiono nei calcoli per quantità che devono essere finite. Quindi per due quark (carica 2/3 e -1/3), ciascuno di tre “colori” dalla forza forte, un leptone neutro (i neutrini) e un leptone carico (ad esempio lelettrone, carica -1), noi ottieni 3 * (2/3 + -1/3) +0+ -1 = 0. Verifica. La carica degli elettroni (muoni, tau “s) deve cancellare esattamente la somma di tutti gli altri fermioni nella sua generazione. Ci sono ancora molte domande sulle specifiche, ma molti GUT esistenti ipotizzano che lassegnazione di cariche a particelle elementari fa parte di una simmetria non ancora osservata.
In sintesi : lelettrone ottiene la sua carica accoppiandosi al campo elettromagnetico. Pensiamo che la forza di questo accoppiamento (grandezza della carica) deve essere tale da annullare precisamente le altre cariche nella sua generazione.