Qual è la formula o la scorciatoia per trovare la somma dei fattoriali?


Migliore risposta

Sfortunatamente non esiste un metodo semplice. Tuttavia, ci sono modelli per le sue cifre finali, sebbene questo sia un argomento diverso.

Ecco comunque la formula: Somma fattoriale – da Wolfram MathWorld

=

dove

è l integrale esponenziale ,

è E n -funzione ,

è la parte reale di z,

è la funzione gamma e i è il numero immaginario .

Risposta

Il trucco per problemi con numeri spaventosi come questo è t o trova modelli.

Per prima cosa, dobbiamo sbarazzarci di tutti quei brutti numeri coinvolti in fattoriali ed esponenti giganti. Dal momento che stiamo guardando solo lultima cifra, qualsiasi cifra oltre quella (cifra delle decine, cifra delle centinaia e così via) non la influenzerà. (È perché i valori di tutte le altre cifre sono multipli di 10, ma poiché 10> 1 e ogni multiplo di 10 finisce con 0, non influisce sulla cifra delle unità.)

La nostra scommessa migliore è per iniziare trovando la cifra delle unità di quel numero senza lesponente (solo la base). Poiché i primi pochi fattoriali sono facili da calcolare, lo facciamo. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 40320 … Perché continuano a finire con zero?

È a causa della scomposizione in fattori primi . Come sapete, 10 = 5 \ cdot 2. Se la scomposizione in fattori primi di qualcosa ha un 5 e un 2, allora è un multiplo di dieci (per la proprietà distributiva). Poiché lultima cifra di un numero in base dieci (quello che usiamo) è fondamentalmente la parte che non è divisibile per 10, in multipli di 10 è 0.

Ora guardiamo di nuovo i fattoriali .

1 = 1

2 = 1 * 2

3 = 1 * 2 * 3

4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 1 * 2 ^ 3 * 3

5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1 * 2 ^ 3 * 3 * 5

Poiché il fattoriale di qualsiasi cosa maggiore di 5 sarà un multiplo di 5 !, sai che avrà un 2 e un 5 nella sua scomposizione in fattori primi, quindi finiscono tutti con 0. Evviva! Ora dobbiamo solo guardare 1 !, 2 !, 3! E 4 !. Come abbiamo già calcolato, la loro somma è 1 + 2 + 6 + 24 = 9 + 24 = 33, la cui ultima cifra termina con 3.

Ora, il nostro problema è 3 ^ 33. Cerchiamo di nuovo di cercare modelli. Diamo unocchiata ad alcune potenze di 3!

3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 24 3 , 72 9 , 218 7 , 656 1 ….

Hmmmm. Cicli: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… .. (Nota: non so perché questo accada. Qualcuno me lo dica per favore!) E ogni esponente che è un multiplo di 4 porta a un che termina con 1, come puoi vedere. 32 è un multiplo di 4, quindi 3 ^ 32 termina con 1. Ora guardiamo semplicemente al numero successivo del ciclo: 3! Pertanto, termina in 3.

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