Risposta migliore
La derivazione di questa somma è simile a quella per
\ displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
Sia
S = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) \ tag * {(1)}
Poiché laddizione è commutativa, possiamo scrivere S al contrario in questo modo
S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ dots + 1 \ tag * {(2)}
Aggiungendo questi due rappresentazioni termine per termine ci danno
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ punti (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ underbrace {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n times}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
Da qui, ne consegue ovviamente che
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
Questo è un risultato noto che può essere dimostrato per induzione, cosa che andrò avanti e farò subito. Per fare ciò, dobbiamo dimostrare che
H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(Nota: utilizzo H\_ {0} come riferimento abbreviato per la dichiarazione di ipotesi)
Per mostrare che H\_ { 0} vale per induzione, dobbiamo dimostrare che luguaglianza vale per il caso base, n = 1, e il caso di induzione, n = k + 1, k \ in \ mathbb {N}. Il caso base è ovvio poiché 1 = 1 ^ {2} = 1, il che ci lascia con il caso di induzione.
k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1 ) ^ {2} \ tag * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
Vediamo che luguaglianza vale per k + 1, quindi dimostrando che H\_ {0} è effettivamente vero. Quindi, possiamo affermare definitivamente che la nostra derivazione di (6) è effettivamente corretta.
1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
Risposta
Guardiamo e vediamo. Chiunque può osservare almeno le prime istanze, giusto?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Ora, riconosci i numeri sulla destra?
1,4,9,16,25, \ ldots
Sì! sono i quadrati perfetti. 1 \ x 1, 2 \ x 2, 3 \ x 3, 4 \ x 4 e così via.
Ora abbiamo una congettura. Mettiamola alla prova:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Sì! I sei numeri dispari più piccoli si sommano a 6 ^ 2, proprio come avevamo previsto. Puoi provarne qualcun altro: funziona.
Se siamo fisici, ci fermiamo qui. Abbiamo fatto unosservazione, abbiamo formato unipotesi, abbiamo testato la nostra ipotesi sperimentalmente una volta e due volte e cento volte, funziona sempre, fatto. La nostra teoria è corretta finché un esperimento non la confuta.
Ma noi siamo matematici, no. Abbiamo bisogno di prove. E ci sono prove rigorose in abbondanza di questo piccolo fatto carino.
Ma cè anche una prova visiva cristallina. Eccola:
EDIT: molte persone hanno chiesto una dimostrazione rigorosa. Eccone una relativamente semplice che può essere derivata da questa prova visiva.
Notiamo che i numeri dispari sono solo le differenze tra quadrati consecutivi, in questo modo:
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
e così via. Quindi quando li sommiamo, tutto si cancella tranne lultimo quadrato:
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
Quindi ora scriviamo questo formalmente per sommare qualsiasi numero di numeri dispari. Per ogni k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
e quindi la somma dei primi n numeri dispari, che è
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
è uguale a
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED