Migliore risposta
Possiamo avvicinarci a questo geometricamente. Ci sono tre soluzioni, sono: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° e 1 / \_240 ° in forma polare. Dobbiamo considerare il dominio dei numeri complessi. (al momento non sono in grado di fornire schemi, quindi mi scuso). Usare carta e penna durante la lettura di questa risposta, sarebbe molto utile.
Nota: “/ \_” rappresenta “angolo”. Langolo viene misurato in senso antiorario rispetto allasse reale positivo (asse x positivo). Inoltre, 0 ° è uguale a 360 °, 720 ° e così via. Qualsiasi angolo θ è uguale a θ + 360 °.
Dal punto di vista geometrico, se rappresentiamo 1 su un piano complesso come 1 + 0i (1,0); questo è uguale a 1 / \_ 0 ° o 1 / \_360 ° in forma polare. Potremmo disegnare un cerchio unitario con il centro allorigine 0,0. Dividendo il cerchio unitario di 360 ° (o 2π radianti) in 3 parti uguali, otteniamo le tre radici richieste.
La prima radice a 1 / \_0 ° o / \_360 °. [Se effettuo 3 giri completi (360 °) da (1,0) in senso antiorario (moltiplicare per se stesso tre volte o cubando), arrivo allo stesso punto: 1 / \_0 °. Nota anche: se eseguo 3 “nessuna rivoluzione” (0 °). Arrivo anche io allo stesso punto!]
Per le altre due radici:
- A partire da 1 / \_0 °, se faccio 1/3 (un terzo o 120 °) di giro in senso antiorario (uno moltiplicato per 1 / \_120 °), arrivo a 1 / \_120 ° che è la seconda radice. Se da lì eseguo altri due 1/3 di giro arrivo a 1 / \_360 ° cioè di nuovo 1 / \_ 0 °. (quindi ho fatto tre giri di 1/3 o 120 °, oppure ho eseguito la cubatura). Quindi il cubo di 1 / \_120 ° è anche 1.
- Partendo da 1 / \_0 °, se faccio 2/3 (240 °) di giro, arrivo a 1 / \_240 ° che è il terza radice, se faccio un altro 2/3 di giro arrivo a 1 / \_480 ° cioè a 1 / \_120 ° e con ancora 2/3 di giro in più arrivo a 1 / \_720 ° cioè di nuovo a 1 / \_0 °. quindi ho fatto tre giri di 2/3 o 240 °, oppure ho eseguito la cubatura). Quindi il cubo di 1 / \_240 ° è anche 1.
Le radici sono 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. separati da 120 ° ugualmente sul cerchio unitario.
Puoi convertire i valori in forma rettangolare e vedere che le risposte sono le stesse di quelle fornite da altri.
In generale per ottenere il allennesima radice, dividiamo il cerchio unitario in n parti uguali, o angoli equidistanti di 360 / n °, e le radici giacciono sul confine esterno del cerchio. Quindi, poiché 360/5 = 72 °, le quinte radici dellunità sono: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
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Lascia che z tale z ^ 3 = 1
sia il passaggio chiave, non prendere la radice cubica di entrambi i lati, altrimenti ti mancheranno 2 radici. Riscrivi piuttosto lequazione come:
z ^ 3–1 = 0
fattore lato sinistro
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 ha 2 radici complesse:
z = -0,5 + i * 0,5sqrt (3), z = -0,5-i * 0,5sqrt (3)