Migliore risposta
Come molti hanno già risposto correttamente, il coseno dellinfinito non ha valore. Ma è peggio. È pessimo quanto può essere.
Funzioni complesse
Le funzioni trigonometriche, compreso il coseno, di solito sono viste come funzioni che accettano numeri reali come argomenti, ma possono essere estese per essere funzioni complesse. Puoi farlo per il coseno usando questa definizione di serie di potenze
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
Ciò rende il coseno definito sullintero piano complesso \ mathbf C.
Da estendendo le funzioni ad argomenti complessi, puoi comprenderle in modi che non puoi quando vengono utilizzati solo argomenti reali. Questo è il punto di forza dellanalisi complessa.
I numeri complessi estesi \ overline {\ mathbf C}
Considera il funzione molto più semplice f (z) = 1 / z. È definito per tutti i numeri complessi tranne z = 0. Sembra avere un valore infinito in z = 0, e cè un modo per formalizzare quel concetto. Estendi i numeri complessi di un elemento, indicato con \ infty per ottenere quello che a volte viene chiamato il piano complesso chiuso o la sfera di Riemann, \ overline {\ mathbf C}. Con ciò puoi definire 1/0 = \ infty e 1 / \ infty = 0 in modo che questa funzione f (z) = 1 / z sia definita su tutto \ overline {\ mathbf C}. In effetti, fornisce una biiezione da \ overline {\ mathbf C} \ a \ overline {\ mathbf C}.
Cosa succede quando lo provi con la funzione tangente \ tan z? Succedono cose carine. Mentre per i numeri reali \ tan \ pi / 2 non è definito, per \ overline {\ mathbf C} è definito, e infatti \ tan \ pi / 2 = \ infty. La singolarità per \ tan z in z = \ pi / 2 è come la singolarità per 1 / z in z = 0.
Queste due funzioni, 1 / z e \ tan z, hanno poli , cioè assumono il valore \ infty. La funzione 1 / z ha un polo in z = 0. La funzione \ tan z ha infiniti poli, uno per ogni valore di z uguale a \ pi / 2 più un multiplo intero di \ pi.
Coseno di \ infty
È ora di tornare a \ cos \ infty.
Considera la funzione f (z) = \ cos (1 / z). Chiedere il coseno di \ infty equivale a chiedere f (0), poiché in \ overline {\ mathbf C}, 1/0 = \ infty. A differenza dei poli per le funzioni 1 / ze \ tan z menzionati sopra, questa funzione ha quella che viene chiamata una singolarità essenziale. Arbitrariamente vicino a z = 0, la funzione f (z) = \ cos (1 / z) assume tutti i numeri complessi infinite volte. Ciò significa che \ cos z ha una singolarità essenziale in z = \ infty. È terribile quanto può essere.
Risposta
Non è uguale a niente. Cos (infinito) è indeterminato perché seno coseno e tangente, così come inverso (secante, cosecante e cotangente), derivano dal cerchio unitario.
coseno è lasse x e seno è lasse y. Questo crea un triangolo rettangolo. Il cerchio unitario è centrato allorigine. E quel triangolo rettangolo che viene “creato”, la lunghezza delle gambe è il punto in cui sono derivate.
Per cose come 390 gradi, si muove più di una volta e langolo viene valutato come se fosse solo è passato da 0 gradi alla fine, che è inferiore a 360. Questo è fondamentalmente solo un modulo.
Lespressione che può rappresentare questo è n mod 360 (o per linformatica, n\% 360), dove n è langolo.
Quindi per infinity mod 360, non posso avere una risposta perché linfinito è in costante aumento. quindi tecnicamente potrebbe essere qualsiasi cosa. Linfinito non è un numero, è un concetto. Il concetto di non avere fine. Quindi usare linfinito come numero significa semplicemente avere un valore che è, in un certo senso, sempre crescente. Questo semplifica un po troppo dal momento che non è davvero in aumento è più come presumere che ci sia una fine quando non cè, lelenco dei numeri non ha fine. Il suo valore è illimitato. Questo è il motivo per cui usiamo i limiti quando si tratta di infinito. Sebbene linfinito come numero stia fondamentalmente usando i limiti, non possiamo dire che 1 / infinito è zero poiché linfinito è solo in costante aumento di valore, non si chiede a cosa sta convergendo. Sebbene converga a zero, non sarà mai zero. Il valore più vicino a zero è, 1 – 0,999…., Che anche se 0,999… è stato detto essere uguale a 1, non lo è. Logicamente, non lo è e non può essere. Se lo accettiamo, possiamo affermare altrettanto facilmente che 1 = 2 e qualsiasi n è uguale a qualsiasi m (n = m).
Tornando alla domanda originale, se guardi un grafico per cos (x), vedrai che oscilla su e giù continuamente passando da 1 a -1. Quindi mentre va allinfinito, non converge mai e cos (infinito) cambierà sempre tra 1 e -1. La scelta di qualsiasi valore tra questi, non sarà infinito, poiché il suo valore cresce sempre.
Quindi, in conclusione, cos (infinito) è indeterminato.