Qual è la somma delle radici quadrate del primo n numero naturale?

Migliore risposta

Penso che il valore di questa somma (che è denotata da) \; \; S\;\; è approssimativamente \; \; \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;

Può essere giustificato come segue:

\; \; A (n) \; = \; \ int\_ {1} ^ {n + 1} \; \ sqrt {x} \; dx \; = \; \ frac {2} {3}. \ big (\; (n + 1) ^ {\ frac {3} {2}} \; – \; 2 ^ {\ frac {3} {2}} \; \ big) \; \; \; restituisce larea sotto la curva \; \; y \; = \; \ sqrt {x} \ ;, \; Asse X e le ordinate in \; \; x \; = \; 1 \; \; e \; \; x \; = \; n + 1 \;. \; ….. …………. (1)

La somma richiesta \; \; S (n) \; \; può essere interpretata come larea di \; \; n \; \; barre verticali rettangolari di larghezza \; \; 1 \; \; di altezza \; \; \ sqrt {j} \; \; erette sullasse \; \; X – \; \; dove \; \; j \ ; = \; 1,2,3, .., n \; \; (i lati verticali del \; \; j ^ {th} \; \; rettangolo sono parti delle ordinate in \; \; x = j \; \; e \; \; x = j + 1 \ ; \;)

Per ottenere una buona approssimazione dobbiamo sottrarre il termine di errore \; \; E (n) \; = \; larea tra la curva e le barre rettangolari, da (1).

Notare che \; \; E (n) \; \ approx \; \ sum\_ {j = 1} ^ {n} \; \ big (\; \ sqrt {j + 1} \; – \; \ sqrt {j} \; \ big) \; = \; \; \ sqrt {n + 1} \; – \; 1 \ ; \; …………………. (2)

Sulla semplificazione otteniamo \; \; S (n) \; \ circa \; A (n) \; – \; E (n) \; = \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;