Migliore risposta
Ci sono 2 risposte che possiamo trovare qui per questa domanda.
- -1/12
- Infinito
Chiaramente \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n diverge. Ma allora perché alcune persone rispondono -1/12? Perché entrambi sono corretti.
Questo è uno dei più semplici esempi di un concetto cruciale per la comprensione delle teorie fisiche, la regolarizzazione. Il numero -1/12, apparentemente assurdo, contiene uninterpretazione fisica nella cosiddetta energia di Casimir.
Spesso, quando proviamo a calcolare quantità fisiche nelle teorie quantistiche, otteniamo linfinito. A quel punto possiamo semplicemente buttare via la risposta, ma questo non ci porterebbe da nessuna parte. In alternativa, possiamo provare a dargli un senso. Per fare ciò, proviamo a estrarre una risposta finita dallinfinito. Questo processo è chiamato regolarizzazione. Ci potrebbero essere molti modi per regolarizzare sistematicamente una serie divergente (o integrale), ma il punto importante è che tutti questi metodi darebbero lo stesso risultato finito. In particolare, la somma di cui sopra ci darebbe sempre -1/12. Questo di per sé suggerisce che -1/12 non è del tutto assurdo.
La seguente discussione è derivata principalmente dalla Sezione 4.1 di Birrel e Davies – Quantum Fields in Curved Space. Presenterò il succo della discussione.
Supponiamo di considerare un campo scalare senza massa in 2 dimensioni (una direzione temporale e uno spazio). Un campo scalare senza massa è molto simile al campo elettromagnetico, ma molto più semplice. Inoltre, restringiamo il campo scalare su un cerchio di circonferenza L. Ora abbiamo definito un sistema quantistico e possiamo provare a calcolare varie quantità, inclusa lenergia minima / dello stato fondamentale di questo sistema. Lenergia dello stato fondamentale risulta essere E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n.
Ora possiamo regolarizzare questo integrale e ottenere E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). Il punto importante è che questo è esattamente ciò che otterremo se provassimo a calcolare la differenza tra lenergia dello stato fondamentale di questo sistema e un altro sistema simile in cui il campo scalare è limitato su una linea di lunghezza infinita (che essenzialmente sta prendendo la circonferenza di il cerchio deve essere infinito). Chiaramente questa energia regolarizzata è una grandezza fisica e infatti può essere misurata in laboratorio.
Concludiamo che laffermazione \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 non è nullo.
Modifica:
Quello che segue è un modo in cui possiamo regolarizzare la somma.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
Il limite di cui sopra diverge, come previsto , ma può essere scritto come segue
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
Questo è il modo in cui recuperiamo una parte finita regolarizzata dalla sommatoria divergente. Il modo per regolarizzare la somma non è affatto unico, ma la parte finita della somma è sempre -1/12.
Risposta
Cosa si intende per “è” o “uguaglianza”? Questa è la domanda che sta alla base della confusione sulla somma di tutti i numeri naturali.
Somma finita
Noi non “Non ho problemi con le somme finite:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
è perfettamente ben definito per qualsiasi sequenza di a\_i \ in \ mathbb R. Grazie alla commutatività e allassociatività delladdizione, non dipende nemmeno da lordine di a\_i: puoi mescolare la sequenza in qualsiasi permutazione senza influenzare il risultato.
Serie infinita
Quando arriviamo a sequenze infinite, (a\_i), tuttavia, cosa significa anche la somma infinita? Che cosè ?
Il più semplice, il più sicuro e predefinito il significato è un limite di somme finite. Questa è la definizione di somma infinita
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Quando questa serie converge assolutamente tutto va bene e va bene. Puoi:
- fare affidamento sul risultato;
- mescolare lordine dei termini;
- aggiungere o sottrarre due di queste serie; e persino
- cambia lordine di due sommazioni nidificate.
Ma se la serie è divergente oppure solo convergente condizionatamente il valore:
- potrebbe non esistere;
- può dipendere dallordine; oppure
- potrebbe richiedere “metodi fantasiosi” per definire
e non puoi né manipolare i termini di la sequenza né aggiunge / sottrae due di queste sequenze.
Questo è il caso della somma dei numeri naturali dove
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
Questo chiaramente diverge da + \ infty come n \ a \ infty, quindi il valore predefinito standard non esiste. E questo è quanto la maggior parte delle persone dovrebbe arrivare.
Metodi fantasiosi
Se non lo fai completamente, anche intimamente, comprendi il significato preciso di tutto ciò che cè sopra, certamente dovresti non passare a “metodi fantasiosi”. Allo stesso modo dovresti trattare chiunque manipoli sequenze non assolutamente convergenti come se si dividessero per zero: i risultati sono altrettanto affidabili.
Esiste una serie infinita di tutto rispetto chiamata Serie Dirichlet :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Se le (a\_n) sono limitate, questa serie converge assolutamente per ogni s \ in \ mathbb C la cui parte reale è strettamente maggiore di uno, \ Re (s)> 1. Per \ Re (s) \ leq1 siamo su un terreno meno solido …
Continuazione analitica
Poiché f ( s) è una funzione analitica definita sul semipiano aperto con \ Re (s)> 1 ha un continuazione analitica al resto del piano Complex. La continuazione quando tutti gli a\_n sono uno, f\_1 (s), è la Funzione Zeta di Riemann :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
dove \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x è la funzione Gamma , unestensione analitica della funzione Fattoriale.
Per \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f\_1 (s).
Per s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb non converge
Se ora vuoi fare qualcosa chiamato regolarizzazione della funzione zeta , potrebbe affermare
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
ma tieni presente che stai armeggiando con cosa significa “uguaglianza” e cosa “è” una somma.
Va tutto bene, ma se sei arrivato a questo punto avrai notato quanto devi sapere per capire cosa stai facendo. Molto più di quello che si ottiene normalmente in un video di Numberphile …