Risposta migliore
“La somma di tutti i numeri reali” non è definita nella matematica convenzionale e non ne sono sicuro che potrebbe essere definito senza causare seri problemi.
Il primo problema è che linsieme di tutti i numeri reali è un insieme non numerabile, cioè non può essere messo in una relazione uno a uno con il conteggio numeri (ad esempio 1, 2, 3, 4, ecc.) Non esiste una definizione convenzionale della somma dei membri di un insieme non numerabile, ma esiste la somma dei membri di alcuni insiemi numerabili.
Supponi di avere un insieme numerabile {x1, x2, x3,…. xn,…}. È possibile definire una somma parziale Sn = x1 + x2 + x3 +… + xn, ovvero la somma dei primi n termini. Per assicurarti che nulla vada storto se riordini linsieme, puoi definire una somma parziale positiva Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn /. Se esiste il limite (dato che n va allinfinità) della serie Pn, allora esiste anche il limite della serie Sn (ma non è lo stesso del limite di Pn a meno che tutti gli xn non siano negativi). Ciò significa che puoi dire che la somma di tutti i numeri nel nostro insieme numerabile è il limite della serie Sn.
Quindi, se linsieme è {1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2 ^ n,…}, hai una serie ben convergente e la somma dei membri dellinsieme è 1. Tuttavia, se hai tutti i numeri interi (positivi e negativi), hai un insieme numerabile {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, ma le somme parziali non convergono – sono 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
Questa mancanza di convergenza degli interi si verifica nonostante il fatto che ogni intero positivo n abbia un numero intero negativo corrispondente, quindi penseresti che si annullino. Tuttavia, non si annullano ad ogni somma parziale alternativa e non si annullerebbero se prendessi il set in un ordine diverso, ad es. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2,…}.
I numeri reali sono peggiori, perché non esiste una definizione di somma dellinsieme, dato che è innumerevoli, e anche se ce ne fosse uno, cambiare lordine in cui li hai presi darebbe un risultato diverso, anche se per ogni numero reale positivo cè un numero reale negativo corrispondente.
Risposta
Risolviamolo utilizzando la teoria dei gruppi.
Sia G (\ mathbb {R}, +) un gruppo.
Ha identità additiva ie 0 e linverso additivo \ forall a \ in G, è -a.
Ora aggiungendo tutti gli elementi di questo gruppo, abbiamo coppie di un numero e inverso si annullano a vicenda.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ in G ^ +} + \ sum\_ {a \ in G ^ -} + 0, Possiamo scrivere questo a causa della proprietà commutativa e associativa di questo gruppo speciale.
Abbiamo diviso linsieme \ mathbb {R} in \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} e elemento identità.
Scriviamo lespressione sopra come
= X + Y + 0
As 0 è identità quindi,
sopra lespressione dà
= X + Y
Ora, \ forall a \ in X, a ^ {- 1} \ in Y
\ implica X = Y ^ {- 1}
\ implica Y = -X
\ implica X + Y = elemento identità di G = 0.
Quindi, la somma di tutti i numeri reali è zero.