Risposta migliore
È difficile sceglierne una, quindi ti lascio scegliere 🙂
- Identità di Eulero
Lequazione combina cinque dei numeri più importanti in matematica . Questi sono:
- 1 – la base di tutti gli altri numeri
- 0 – il concetto di nulla
- pi – il numero che definisce un cerchio
- e – il numero che sta alla base della crescita esponenziale
- i – la radice quadrata “immaginaria” di -1
2. Lequazione di campo di Einstein ( riepilogo delle dieci equazioni)
Il fisico John Wheeler lo ha riassunto succintamente: “Lo spazio-tempo dice alla materia come muoversi ; la materia dice allo spazio-tempo come curvare. “
Lequazione di Einstein può dirci come il nostro universo è cambiato nel tempo, e offre scorci del primo momento s della creazione. Non sorprende che sia il preferito di molti scienziati.
3. Equazione delle onde
Lequazione delle onde descrive come si propagano le onde. Si applica a tutti i tipi di onde, dalle onde dellacqua al suono e alle vibrazioni, e persino alla luce e alle onde radio.
È un poster da bambino per lidea che i principi matematici si siano sviluppati in unarea o per conto proprio sake, può avere applicazioni vitali in altri settori. La sua bellezza deriva dalla combinazione di questi attributi: eleganza, sorpresa, profondità intellettuale, utilità.
4. La mappa logistica
La mappa logistica è uno dei classici esempi di teoria del caos.
It può essere riassunta come segue: una grande complessità può derivare da regole molto semplici.
Lequazione può essere utilizzata per modellare molti processi naturali, ad esempio come una popolazione di animali cresce e si riduce nel tempo.
Il modo in cui si comporta la popolazione risulta essere enormemente sensibile al valore di r, in modi controintuitivi. Se r è compreso tra 0 e 1, la popolazione morirà sempre, ma se è compreso tra 1 e 3 la popolazione si avvicinerà a un valore fisso e se è superiore a 3,56995 la popolazione diventerà estremamente imprevedibile.
Questi comportamenti sono descritti come “caotici” dai matematici e non sono ciò che ci aspetteremmo istintivamente. Ma emergono tutti da unequazione matematicamente abbastanza semplice.
Questo è tutto, per ora.
Se pensi che mi sia persa qualche equazione, per favore dimmelo, io ” lo aggiungerò nella risposta 🙂
Risposta
Sto vedendo molti problemi di calcolo di base che coinvolgono PEMDAS proprio ora pubblicati qui, ma questa è matematica elementare di cui sono sicuro Il 99\% delle persone che pensano di essere davvero brave in matematica possono avere ragione. Ho anche notato lequazione di Bob Hock, che è molto creativa, ma non credo che sia così difficile da provare.
Il problema che sto pubblicando qui è lAIME II Problem 15 del 2006, che sembra molto complicato, ma si scompone in qualcosa di abbastanza semplice attraverso una relazione creativa:
Dato che x, yez sono numeri reali che soddisfano
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
e che x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, dove m e n sono numeri interi positivi e n è non divisibile per il quadrato di un numero primo, trova m + n
A prima vista, stiamo risolvendo un problema di algebra in cui dobbiamo trovare la somma. Un primo pensiero potrebbe essere quello di quadrare le equazioni per sbarazzarsi delle radici quadrate in una certa misura, ma un tale metodo è chiaramente disordinato.
Notando che non abbiamo bisogno di risolvere ciascuno di x, y , z separatamente, e abbiamo bisogno solo della loro somma, potremmo considerare di aggiungere le tre equazioni date, che danno
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Abbiamo quello che abbiamo necessario da un lato, ma dallaltro lato non sembra che nulla si annullerà, quindi questo non sembra corretto.
Una terza idea sarebbe quella di fattorizzare lespressione allinterno delle radici quadrate usando la differenza di quadrati poiché le frazioni date sono tutti quadrati perfetti. In questo modo si ottiene
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
ecc, ma anche così, non cè un modo chiaro manipolare i fattori in modo utile. In breve, possiamo tentare di risolvere per una variabile alla volta, ma non esiste un modo chiaro per farlo.
Si scopre che la migliore soluzione a questo problema è pensare geometricamente. Ricordiamo il Teorema di Pitagora che afferma che in un triangolo rettangolo con gambe a, b e ipotenusa c, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Possiamo manipolarlo per ottenere a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}. Questa è esattamente la forma dei termini sulla RHS delle equazioni.
Se disegniamo un triangolo di conseguenza con questa realizzazione, dalla prima equazione possiamo formare due triangoli rettangoli con altezza \ frac {1} {4} e con ipotenusa y e z. x è uguale alla somma della terza lunghezza di ogni triangolo rettangolo. Se lasciamo che laltezza dei triangoli rettangoli sia lo stesso segmento di linea di lunghezza \ frac {1} {4}, formiamo un triangolo più grande con le lunghezze dei lati x, y, z e laltezza di \ frac {1} {4} sul lato x.
Continuando con la stessa idea per la seconda e la terza equazione, otteniamo che laltezza del triangolo sui lati yez sono \ frac {1} {5} e \ frac {1} {6}, rispettivamente. Dallequazione dellarea di un triangolo, possiamo ottenere
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {and} y = \ frac {5} {6} z
Inoltre, dalla formula di Heron , otteniamo
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
Sostituendo in z dalle altre formule dellarea, ciò si semplifica in
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Pertanto,
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
quindi m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}