Migliore risposta
La maggior parte delle sequenze che incontri sono date da una formula per n- esimo termine: a\_n = f (n) dove f è una funzione costituita da operazioni aritmetiche, potenze, radici, esponenziazione, log e talvolta altre funzioni. La domanda è cosa succede quando n si avvicina allinfinito. \ Lim\_ {n \ to \ infty} f (n) è un numero finito, cioè la sequenza converge o succede qualcosaltro? Diverge in \ infty o in – \ infty, oscilla tra due numeri diversi o si scatena tutto il caos?
Se “non sei interessato alla certezza, ma sei soddisfatto di una risposta che” Avrà ragione nella maggior parte delle situazioni, puoi semplicemente calcolare a\_ {1000} o da qualche altra parte nella sequenza. Per la maggior parte delle sequenze che incontri, questo dovrebbe rispondere alla tua domanda.
Ma questa non è la tua domanda. Vuoi davvero sapere se la sequenza converge o meno. Vuoi la certezza e, se possibile, vuoi per sapere a quale numero converge. Sfortunatamente, le sequenze di forme possono assumere sono illimitate. Il meglio che puoi fare è avere diversi principi che si occuperanno della maggior parte dei casi. Ecco alcuni principi.
- Funzioni razionali , cioè quozienti di polinomi, come a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Puoi vedere cosa succederà se dividi numeratore e denominatore per la più alta potenza di n presente. Puoi riassumere tutto in un teorema: se il grado del numeratore è lo stesso di il grado del denominatore, quindi la sequenza converge al rapporto dei coefficienti principali (4/3 nellesempio); se il denominatore ha un grado maggiore, la sequenza converge a 0; se il numeratore ha un alto r grado, la sequenza diverge in \ infty se i coefficienti direttivi hanno lo stesso segno, o in – \ infty se hanno segni diversi.
- Quozienti di funzioni algebriche che coinvolgono radici come a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Dividi il numeratore e il denominatore per una potenza frazionaria di n. In questo esempio, \ sqrt n andrà bene.
- Composizioni , ad esempio, a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. La funzione esterna, seno, è una funzione continua e le funzioni continue preservano i limiti. In questo caso abbiamo \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, quindi la sequenza originale si avvicina a \ sin0 = 0. Ma considera invece a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5}. Qui abbiamo \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ to \ infty e \ sin x oscilla tra -1 e 1 come x \ to \ infty, quindi questa sequenza non ha limiti.
- Ordini di crescita relativi . Spesso avrai a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)} dove sia f (n) \ to \ infty e g (n) \ to \ infty. Cosa succede al quoziente dipende dal fatto che il numeratore o denominatore sta crescendo più velocemente. Userò il simbolo \ prec per indicare che uno cresce molto più lentamente di un altro, cioè f \ prec g significa \ lim\_ {n \ to \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. È utile conoscerne alcuni, e lo fai. Ad esempio, n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. Questi sono tutti esempi di polinomi, ma dovresti conoscere alcune altre funzioni \ log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- L “regola dellHôpital” . Sebbene le sequenze siano discrete, se il limite continuo converge o diverge in più o meno infinito, allora così fa il limite discreto. Quindi, ad esempio, se hai a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} e non hai usato gli ordini menzionati sopra, potresti usare L “Hôpital” s. Poiché nel limite, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, il numeratore e il denominatore si stanno entrambi avvicinando allinfinito, quel limite sarà lo stesso limite dove si sostituiscono numeratore e denominatore con i loro derivati, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, e se non è ancora chiaro cosa succede, poiché anche questo è di nella forma \ infty / \ infty, puoi usare la regola ag di L “Hôpital” ain.
- Il limite speciale per e ^ x. A volte questo è usato come definizione della funzione esponenziale. Vale la pena saperlo e compare frequentemente in sequenze utili. (1 + x / n) ^ n \ to e ^ x
Sono sicuro che ci sono più tecniche. Non dimenticare di semplificare luso dellalgebra mentre procedi.
Risposta
Pochi test per verificare la convergenza di sequenze.
1. Data una sequenza a\_n e se abbiamo una funzione f (x) tale che f (n) = a\_n e \ lim\_ {n \ to \ infty} f (x) = L allora \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = L
2. Se \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0 allora \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3. La sequenza {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty converge se -1 \ ler \ le1.
4. Per una sequenza \ {a\_n \} if \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L, allora a\_n è convergente con il limite L.