Quale sarà il resto quando 17 ^ 200 viene diviso per 18?


Migliore risposta

\ mathbf {\ text {Prima soluzione.}}

17 ^ {200} \ equiv 17 ^ {200} \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ text {Seconda soluzione usando il teorema di Eulero.}}

\ text { (17, 18) sono relativamente prime. Possiamo usare il teorema di Eulero.}

\ text {Funzione totient di Eulero.}

\ varphi (18) = 18 \ left (1 – \ dfrac {1} {2} \ destra) \ sinistra (1 – \ dfrac {1} {3} \ destra) = 18 \ sinistra (\ dfrac {1} {2} \ destra) \ sinistra (\ dfrac {2} {3} \ destra) = 6

17 ^ {6} \ equiv 1 \ mod {18}

\ implica (17 ^ {6}) ^ {33} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {198} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv 17 ^ 2 \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ 2 \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ quindi \, \, \ text {1 è il resto quando} \, \, 17 ^ {200} \, \, \ text {è diviso per 18}}

Risposta

Vogliamo il resto quando 17 ^ {200} viene diviso per 18.

17 \ equiv (-1) \ pmod {18}.

\ Rightarrow \ qquad 17 ^ {200} \ pmod {18} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ qquad \ equiv 1 \ pmod {18} \ equiv 1.

\ Rightarrow \ qquad Il resto quando 17 ^ {200} è diviso per 18 è 1.

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