Migliore risposta
Solo quando θ = 0.
È geometricamente ovvio che per ogni θ compreso tra 0 e π / 2, 2sinθ è la lunghezza della corda di un arco di radianti misura 2θ in un cerchio di raggio 1. E poiché la corda è più corta dellarco, dobbiamo avere sinθ <θ per tutto questo θ. E ovviamente, se θ> 1, allora sinθ . Infine, sinθ <θ per tutti i positivi θ implica sinθ> θ per tutti i negativi θ.
Anche se θ è misurato in gradi, sinθ non può essere uguale a θ a meno che θ = 0, semplicemente perché la misura in radianti di un arco di θ gradi è πθ / 180, che è molto più piccolo di θ.
Risposta
Penso che la domanda migliore sia, può \ cos \ theta uguale a 2?
Probabilmente sai che non può se \ theta è langolo di un triangolo nella geometria piana, perché lipotenusa di un triangolo rettangolo è più lunga del lunghezze delle sue gambe e la gamba adiacente non può essere il doppio della lunghezza dellipotenusa. Allo stesso modo se \ theta è un numero reale qualsiasi, perché \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Quindi, se \ theta \ in \ mathbb R, allora -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, quindi \ cos \ theta non può essere 2.
Tuttavia, affermiamo che se z \ in \ mathbb C, è possibile per \ cos z = 2. In effetti, la complessa definizione analitica del coseno è \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, e quindi finiamo con unequazione quadratica, a cui si spera la maggior parte di noi è abituata .
Vogliamo risolvere \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2. Prendendo w = e ^ {iz}, questo diventa \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2 o, equivalentemente, w ^ 2-4w + 1 = 0. Applichiamo quindi la formula quadratica:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Dato che w = e ^ {iz}, possiamo quindi prendere il logaritmo naturale, ma dobbiamo essere attento : proprio come a ^ 2 = b ^ 2 non implica a = b (implica solo a = \ pm b), e ^ a = e ^ b non implica a = b, ma solo implica a = b + 2 \ pi ik per qualche k \ in \ mathbb Z. Quindi,
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
Quindi moltiplichiamo semplicemente per -i per ottenere il valore di z:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Potremmo finalmente riscrivere la nostra soluzione, notando che 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3}, e quindi \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
Il comportamento di \ cos z come funzione analitica complessa imita la funzione trigonometrica nella direzione reale e il coseno iperbolico nella direzione immaginaria; in effetti, potresti sapere che \ cos (iz) = \ cosh z e \ sin (iz) = i \ sinh z; e combinare questi fatti con la formula della somma del coseno comporta \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, con x, y \ in \ mathbb R. Questo fornisce un modo alternativo per calcolare il risposta. Philip Lloyd ha un ottimo diagramma su questo: la risposta di Philip Lloyd a Perché “t cos theta può essere uguale a 2?