Risposta migliore
Contiamo prima loccorrenza della cifra 2 da 1 a 10. Cè solo 1 lì, cioè per il numero 2.
Quindi, prendi i successivi dieci numeri e conta loccorrenza della cifra 2 in essi, e otteniamo 2, cioè nei numeri 12 e 20.
Allo stesso modo, ricorre 10 volte nei numeri da 21 a 30, come due volte in 22.
Continuando allo stesso modo per i numeri seguenti fino a 120 compreso, noi scoprire che esiste una volta ogni dieci numeri più unaltra volta, totale 10.
Tra 121 e 130 si ripete 10 volte, come si ripete due volte in 122.
Da 131 a 190 la cifra 2 ricorre una volta ogni 10 numeri, per un totale di 6.
E negli ultimi dieci numeri (191-200) ricorre due volte.
Sommando tutte le occorrenze insieme troviamo che la cifra 2 ricorre 41 volte, vale a dire nei numeri 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 , 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 e 200.
Risposta
Ti mostrerò due regole, ce ne possono essere molti.
Tra di loro il primo è facile e il secondo è più matematico e scientifico:
Processo 1:
Se facciamo n ^ 5 lultima cifra del risultato è sempre uguale allultima cifra di n.
Ora, se aggiungiamo (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Lultima cifra sarà lultima cifra delladdizione (1 + 2 + 3 +… .. + 99) .
Ora,
Lultima cifra delladdizione (1 + 2 + 3 +… .. + 99)
= Lultima cifra di \ frac {99 \ times (99 + 1)} {2}
= Lultima cifra di \ frac {99 \ times 100} {2}
= 0
Quindi, lultima cifra delladdizione,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5) sarà Zero.
Processo 2:
Sappiamo che,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + n ^ 5)
= \ frac {[n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12}
Quindi, per (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
La risposta sarà
161708332500
Quindi, lultima cifra è zero .
PS: sappiamo che 1 ^ a + 2 ^ a + 3 ^ a + …… .. + n ^ a è scritto matematicamente come \ Sigma n ^ a. La formula generale per la somma delle potenze è nota come formula di Faulhaber (nota anche come formula di Bernoulli):
\ sum\_ { k = 1} ^ nk ^ {p} = \ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ frac {1} {2} n ^ p + \ sum\_ {k = 2} ^ p \ frac {B\_ {k}} {k!} P ^ \ underline {k-1} n ^ {p-k + 1}
dove, \ textbf {p} ^ \ underline {k-1} = \ dfrac {p!} {(p-k + 1)!} è chiamato fattoriale decrescente e B\_ {k} sono i numeri di Bernoulli.
Usando questa formula possiamo dedurre qualsiasi formula specifica per la potenza somma, come indicato di seguito:
- \ Sigma n ^ 0 = n
- \ Sigma n ^ 1 = \ frac {n (n + 1)} {2 } = \ frac {1} {2} (n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} = \ frac {1} {6} (2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 3 = [\ frac {n (n + 1)} {2}] ^ 2 = \ frac {1} {4} (n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 4 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} = \ frac {1} {30} (6n ^ 5 + 15n ^ 4 + 10n ^ 3-n)
- \ Sigma n ^ 5 = \ frac { [n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12} = \ frac {1} {12} (2n ^ 6 + 6n ^ 5 + 5n ^ 4-n ^ 2 )
- \ Sigma n ^ 6 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 4 + 6n ^ 3-3n + 1)} {42} = \ frac {1 } {42} (6n ^ 7 + 21n ^ 6 + 21n ^ 5-7n ^ 3 + n)
- \ Sigma n ^ 7 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (3n ^ 4 + 6n ^ 3-n ^ 2-4n + 2)} {24} = \ frac {1} {24} (3n ^ 8 + 12n ^ 7 + 14n ^ 6-7n ^ 4 + 2n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 8 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} = \ frac {1} {90} (10n ^ 9 + 45n ^ 8 + 60n ^ 7-42n ^ 5 + 20n ^ 3-3n)
- \ Sigma n ^ 9 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (n ^ 2 + n -1) (2n ^ 4 + 4n ^ 3-n ^ 2-3n + 3)} {20} = \ frac {1} {20} (2n ^ {10} + 10n ^ 9 + 15n ^ 8-14n ^ 6 + 10n ^ 4-3n ^ 2)
- \ Sigma n ^ {10} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (n ^ 2 + n-1) (3n ^ 6 + 9n ^ 5 + 2n ^ 4-11n ^ 3 + 3n ^ 2 + 10n-5)} {66} = \ frac {1} {66} (6n ^ {11} + 33n ^ {10} + 55n ^ 9-66n ^ 7 + 66n ^ 5-33n ^ 3 + 5n)
Grazie per aver letto la mia risposta. Spero che questo aiuti.