Migliore risposta
Se provo a collegarlo alla mia calcolatrice, ottengo qualcosa in notazione scientifica, perché la risposta è troppo grande per essere visualizzata dalla calcolatrice. In termini pratici, la calcolatrice mi mostrerà linizio del numero e mi interessa solo la fine del numero.
200! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × ………… × 192 × 193 × 194 × 195 × 196 × 197 × 198 × 199 × 200
So che un numero ottiene uno zero alla fine se il numero ha 10 come fattore. Ad esempio, 10 è un fattore di 50, 120 e 1234567890. Quindi devo scoprire come ogni volta che 10 è un fattore nellespansione di 200 !.
Ma dal momento che 5 × 2 = 10, devo tenere conto di tutti i prodotti di 5 e 2. Osservando i fattori nellespansione sopra, ci sono molti altri numeri che sono multipli di
2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 194, 196, 198, 200)
che sono multipli di
5 (5, 10, 15, …, 185, 190, 195, 200).
Cioè, se prendo tutti i numeri con 5 come fattore, avrò più che abbastanza numeri pari da accoppiare con loro per ottenere fattori di 10 (e un altro zero finale sul mio fattoriale). Quindi per trovare il numero di volte 10 è un fattore, tutto ciò di cui mi devo veramente preoccupare è quante volte 5 è un fattore in tutti i numeri tra 1 e 200.
Ok, quanti multipli di 5 ci sono nei numeri da 1 a 200? Ci sono 5, 10, 15, 20, 25, …
Oh, diamine; facciamolo nel modo più breve: 200 ÷ 5 = 40 , quindi ci sono quaranta multipli di 5 tra 1 e 200.
Quindi, la sua risposta sarà 40 .
Ma aspetta: 25 è 5 × 5, quindi ogni multiplo di 25 ha un fattore aggiuntivo di 5 di cui devo tenere conto. Quanti multipli di 25 sono compresi tra 1 e 200?
Poiché 200 ÷ 25 = 8 , ci sono otto multipli di 25 tra 1 e 200.
E aspetta un minuto cè anche 125 che è 5x5x5. Quindi dobbiamo aggiungere 1 al numero di zeri.
Quindi ora il numero totale di zeri è = 40 + 8 + 1, significa 49.
Quindi in 200! ci sono 49 zeri finali. E non controllarlo dalla calcolatrice, poiché la calcolatrice non è in grado di farlo.
Risposta
Gli zeri finali sono una sequenza di 0 “nella rappresentazione decimale di un numero, dopo che non seguono altre cifre. Può essere risolto in due modi:
- Diamo unocchiata a come si formano gli zeri finali. Uno zero finale si forma quando un multiplo di 5 viene moltiplicato per un multiplo di 2. Ora tutto ciò che dobbiamo fare è contare il numero di 5 e 2 nella moltiplicazione.
Ogni coppia di 2 e 5 causerà uno zero finale. Poiché abbiamo solo 24 5, possiamo creare solo 24 coppie di 2 e 5, quindi il numero di zeri finali in 100 fattoriali è 24 .
2. È possibile rispondere alla domanda anche utilizzando la semplice formula indicata di seguito:
La formula sopra ci fornisce il numero esatto di 5 in n! perché si prenderà cura di tutti i multipli di 5 w che sono inferiori a n. Non solo si occuperà di tutti i multipli di 25, 125 e così via (potenze superiori di 5).
Suggerimento: invece di dividere per 25, 125, ecc. (potenze superiori di 5); sarebbe molto più veloce se dividi per 5 ricorsivamente.
Usiamo questo per risolvere alcuni esempi:
Q) Qual è il numero di zeri finali in 100! ?
[100/5] = 20
Ora possiamo dividere 100 per 25 o il risultato nel passaggio precedente, ovvero 20 per 5.
[ 20/5] = 4. È inferiore a 5, quindi ci fermiamo qui.
La risposta è – 20+ 4 = 24 (risposta diretta in pochi secondi)
Q) Qual è il numero di zeri finali in 200! ?
[200/5] = 40
Ora possiamo dividere 200 per 25 o il risultato nel passaggio precedente, ovvero 40 per 5.
[ 40/5] = 8
[8/5] = 1. È inferiore a 5, quindi ci fermiamo qui.
La risposta è – 40 + 8 + 1 = 49
Q) Qual è il numero di zeri finali in 1123 !?
[1123/5] = 224
[224/5] = 44
[44/5] = 8
[8/5] = 1. È inferiore a 5, quindi ci fermiamo qui.
La risposta è – 224 + 44 + 8 + 1 = 277
In caso di domande, non esitare a chiedere nella sezione commenti.