Migliore risposta
È dato che
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ times x \ times \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Ora il valore di x ^ 2 sarà – \ omega e – \ omega ^ 2
Dove
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
E
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Prendiamo x ^ 2 sarà – \ omega
Ora lespressione data è \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Freccia destra {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Ora ricorda che \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Quindi
\ displaystyle {s = 1 – (1 \ times {\ omega}) + (1 \ times {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Quindi la risposta è 0
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Risposta
Questo problema è un po più semplice di quanto sembri allinizio ed è una lezione su quanto sia utile può essere cercare – e poi sfruttare – la simmetria. Il problema non richiede alcun calcolo per essere risolto, anche se se conosci qualche calcolo, quellapproccio funziona molto bene. La chiave per una soluzione non di calcolo è osservare che se lo stesso valore minimizza g (x) eh (x), allora minimizza anche g (x) + h (x). Capisci perché è vero?
Come possiamo applicare questa idea a questo problema?
Considera g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. Questa funzione è simmetrica rispetto a x = 3.5 – il punto a metà tra i valori +3 e +4 che vengono aggiunti a x – poiché possiamo scriverla come g (x) = ((x + 3.5) -0.5) ^ 4 + ((x + 3,5) +0,5) ^ 4. Lasciando y = x + 3.5, questa simmetria implica che g (y) deve essere un polinomio pari quindi contiene termini con solo potenze pari di y. Poiché è un polinomio pari, il teorema binomiale ci dice che tutti i suoi coefficienti devono essere positivi. (In effetti, è g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, ma non abbiamo nemmeno bisogno di trovare questi tre termini esplicitamente per finire largomento.) Poiché y = 0, minimizza chiaramente ciascuno degli addendi di g (y) individualmente poiché ciascuno è una potenza pari di y con coefficiente positivo, la nostra osservazione iniziale implica che y = 0 deve minimizzare anche g. Quindi abbiamo scoperto che x = -3.5 è lunico minimizzatore di g (x).
Quindi, considera h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Questa funzione è leggermente più semplice di g in quanto è quadratica, e un argomento quasi identico implica che x = 3.5 è anche lunico minimizzatore di h (x). Sfrutta la simmetria per scriverla come h (x) = ((x + 3.5) -3.5) ^ 2 + ((x + 3.5) +3.5) ^ 2. Quindi nota che h (y) è un polinomio pari (quindi ha solo potenze pari di y), e usa il teorema binomiale per concludere che ha solo coefficienti positivi. In effetti, h (y) = 2y ^ 2 + 24,5, ma ancora una volta, non abbiamo bisogno di trovarlo esplicitamente. Poiché y = 0 minimizza tutti i termini che vengono aggiunti per produrre h (y), sappiamo che y = 0 minimizza h (y), e concludiamo che x = -3.5 è lunico minimizzatore di h (x).
Infine, poiché x = -3.5 è lunico minimizzatore sia di g (x) che di h (x), è lunico minimizzatore della loro somma e il problema è risolto.