Migliore risposta
Ebbene, sì. Non sono sicuro di quanto sia degna una dimostrazione, ma in Geometria euclidea definisci le linee parallele come segue:
Diciamo che AB \ parallel CD \ iff \ angle {FEB} = \ angle {EFC}.
Ora, assumiamo il contrario: che AB e CD si incontrino, diciamo, in un punto P a destra di GH ( per definizione; potresti sempre supporre che P sia a sinistra di GH). Quindi, in \ bigtriangleup {EFP}, \ angle {P} = 0 ^ o. Il che implicherebbe che AB e CD coincidono (il che ovviamente non è vero). Quindi, AB e CD non possono incontrarsi.
Questa è solo una metà della dimostrazione, però – dove dimostriamo che le linee parallele non possono incontrarsi. Per dimostrare che le linee che non si incontrano sono parallele, considera il diagramma seguente:
Se AB e CD non si incontrano, allora deve essere vero che EF = GH. Inoltre, EF \ parallel GH per costruzione, il che significa che \ angle {FEG} = \ angle {EGH}. Da qui \ bigtriangleup {EFG} \ cong \ bigtriangleup {EHG} \ implica \ angle {HEG} = \ angle {EGF} \ implica AB \ parallel CD.
Risposta
Se a è parallela a un piano, sarà perpendicolare al vettore normale del piano (proprio come qualsiasi altra linea contenuta nel piano o parallela al piano).
(Nota che sto usando “perpendicolare “Qui, non nel senso che si intersecano, necessariamente, ma nel senso che i loro vettori sarebbero a 90 gradi se fossero posti uno accanto allaltro)
Per trovare se due vettori sono perpendicolari, basta prendi il loro prodotto dot. Se è uguale a 0, allora sono perpendicolari.
Quindi, ad esempio, se abbiamo il piano: 2x + 3y – 4z = 7 (il vettore normale qui sarebbe <2,3, -4>)
E vogliamo scoprire se la linea: x = 2 + t, y = 3–2t, z = 5-t, è parallela ad essa, abbiamo solo bisogno del prodotto scalare del vettore della linea (<1, -2, -1>) e il vettore normale dellaereo.
<1, -2, -1> DOT <2, 3, -4> = 1 * 2 + -2 * 3 + -1 * -4 = 2 – 6 + 4 = 0
Quindi, in questo caso, la linea e il piano sono paralleli.
Se vogliamo usare lo stesso piano, ma confrontalo con la linea: x = 4 + 2t, y = 3 + 6t, z = 5 + 9t, quindi otterremo:
<2, 6, 9> DOT <2, 3, -4> = 2 * 2 + 6 * 3 + 9 * -4 = 4 + 18-36 = -14
Quindi possiamo vedere che questi due non saranno paralleli.