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Un cerchio è una funzione o no? Perché?
Per essere precisi, se usi coordinate cartesiane, non esiste una funzione esplicita di x con intervallo essendo il valore di y i cui punti giacciono su un cerchio completo. La ragione di ciò è che per quasi tutti i valori di x allinterno del cerchio ci sono due valori di y corrispondenti ai semicerchi superiore e inferiore, mentre una funzione esplicita deve avere un valore univoco per ogni valore di x. Quindi il meglio che possiamo fare è usare due funzioni di x, una per ciascuno di questi semicerchi. Ad esempio per un cerchio di raggio \ text {R} centrato allorigine:
\ qquad y = \ pm \ sqrt {\ text {R} ^ 2-x ^ 2}
Qui scegliendo un + si ottiene una funzione i cui punti si trovano sul semicerchio superiore e scegliendo un – si ottiene una funzione con punti sul semicerchio inferiore.
Ma possiamo certamente usare un implicita funzione relativa alle due coordinate, ad esempio:
\ qquad x ^ 2 + y ^ 2 = \ text {R} ^ 2
Ci sono anche altri modi per costruire funzioni esplicite per un cerchio usando diversi domini e intervalli per la funzione. Quella che segue ad esempio è una funzione esplicita che definisce un cerchio in coordinate cartesiane:
\ qquad f (t) = (\ text {R} \ cos (t), \ text {R} \ sin (t))
Qui il dominio è linsieme dei numeri reali \ R come al solito, ma in questo caso lintervallo della funzione è linsieme dei punti nel piano xy, ricordando che possiamo avere qualsiasi imposta che ci piace per il dominio e lintervallo di una funzione. In questo caso, tuttavia, nota che sono i valori della funzione che giacciono sul cerchio e largomento t è una variabile indipendente.
E ovviamente non abbiamo bisogno di attenerci alle coordinate cartesiane. Se invece usiamo le coordinate polari per il piano, possiamo avere una funzione esplicita molto semplice per un cerchio, ad esempio:
\ qquad r (\ theta) = \ text {R}
In pratica tutte le funzioni sopra, esplicite e implicite, sono comunemente usate in matematica quando si tratta di cerchi.
Risposta
Un cerchio è un insieme di punti nel piano. Una funzione è una mappatura da un insieme allaltro, quindi sono completamente diversi tipi di cose e un cerchio non può essere una funzione.
Quello che probabilmente intendevi chiedere è se il cerchio è il grafico di qualche funzione. Il grafico di una funzione, f, è linsieme di coppie, (x, f (x)) per tutte le x nel dominio, che può essere interpretato come punti in un piano.
Quindi la domanda è se esiste una funzione il cui grafico è il cerchio.
La risposta è no, perché ogni valore nel dominio è associato esattamente a un punto nel codominio, ma una linea che passa attraverso il cerchio generalmente interseca il cerchio in due punti.
Questo genere di cose è scomodo, perché i cerchi sono molto importanti in geometria. A volte i punti di un cerchio sono descritti da una relazione , data da (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2, dove (a, b) è il centro er è il raggio. A causa dei quadrati, possono esserci due diversi valori di y che rendono la relazione vera per vari valori di x, quindi il grafico di relazione è un cerchio.