Beste svaret
Ah! Dette er en fin observasjon, og det den lærer oss er at tallverdisystemer med plassverdi tillater at noen tall har flere representasjoner med forskjellige sifre.
Jeg foreslår at du prøver å finne forskjellen mellom de to numeriske uttrykkene ( det vil si at det er et tall mellom dem).
Du kan ikke virkelig gjøre det på vanlig måte, for det er ingen siste 9 sifre som begynner å trekke fra det minst signifikante tallet. , er det? Det er fordi de fortsetter for alltid.
I hovedsak kan du imidlertid starte fra det viktigste tallet og fortsette å «låne» det til høyre, i stedet for å «låne» fra venstre.
Så hvis vi ser på de første sifrene, har vi
\ begin {align *} & 1.00000 \ dots \\ & 0.99999 \ dots \ end {align *}
«Utlån» til høyre betyr å ta den delen av det øverste tallet til å være ti tideler (som det er!). Å trekke fra ni tideler forlater en tidel. Men vi kan da «låne» det til høyre som ti hundredeler, og trekk ni hundredeler fra det, og fortsett på ubestemt tid.
Og dette fortsetter på ubestemt tid. Det er ikke noe sted der prosessen stopper og etterlater et 1 siffer, fordi (i en eller annen forstand) å fullføre denne (uendelige) prosessen ville etterlate seg bare nuller etter hvert som den utviklet seg «helt» til høyre.
Det finnes andre – strengere og mer elegante – måter å bevise at 0. \ dot {9} = 1.
En annen måte å tenke på det er å kaste byrden som er desimal b asesystem (base ti) og telle i ternær (base tre). Ternary er systemet der vi teller 0, \, 1, \, 2, \, 10, \, 11, \, 12, \, 100, \, \ prikker. Tall i ternære har ikke desimaltegn, men ternære poeng. I ternær har vi \ frac {1} {3} = 0.1, og \ frac {2} {3} = 0.2.
Men så brøk \ frac {1} {2} = 0. \ punkt {1} slutter ikke! For ikke å nevne at i ternær er ikke-gjentakende 0. \ dot {2} = 1, fordi det er nøyaktig dobbelt så mye som forrige uttrykk (hvis du bytter på høyre og venstre side av likheten, må det være slik). p>
Dette er den store og kraftige tingen om likestilling. Siden vi vet at i base ti \ frac {1} {3} = 0. \ dot {3}, så \ frac {3} {3} = 1 = 0. \ dot {9}, noe som viser at det samme tallet kan har flere representasjoner i det samme numeriske systemet.
Moralen i historien er å unngå å bli fanget i det vi kaller ting, men fokusere i stedet på det de er og hva de gjør .
Svar
Ja, en delt på tre er mulig i feltene med reelle eller rasjonelle tall, og det tilsvarer en tredjedel.
Det er ikke mulig å representere en tredjedel ved å bruke en endelig desimalposisjonsnotasjon. Hvis du vil bruke en uendelig representasjon, slik som prikkene i 0.333 \ dotsc antydet, må du bedre ha en formell måte å si hva det betyr. Matematikere har en slik formell spesifikasjon, kalt grenser, der 0,999 \ dotsc = 1.
Merk at desimale representasjon av et tall er ikke selve tallet. Akkurat som om du ikke er navnet ditt, eller kallenavnet ditt, eller noen av dine mange ID-er. Tall har masse representasjoner inkludert mange forskjellige baser, ord, uttrykk og så videre. Representasjonene for en tredjedel inkluderer:
- 0.333 \ dotsc (desimal)
- 0.1\_3 (ternær)
- \ frac13
- 20 «(minutter – en tredjedel av en time)
- 120 ° (grader – en tredjedel av en sirkel)
- \ frac26
og så videre.
Det faktiske tallet en tredjedel i seg selv holder seg fjernt fra alle disse representasjonene. Det er definert ved sin egenskap å være en delt med tre. Med andre ord er det tallet som gir en når multiplisert med tre. Alt annet er bare midlertidig notasjon som, som du har nevnt, er litt klønete i desimal.