Beste svaret
Det er egentlig ikke en generell definisjon av plass i matematikk. Nesten ethvert objekt vi kan tenke på visuelt, kan kalles et rom. Metriske mellomrom, manifolds, Hilbert-mellomrom, orbifolds, skjemaer, målerom, sannsynlighetsrom og modulstabler er alt vi kaller mellomrom.
Det nærmeste en generell definisjon av rom er sannsynlighet forestillingen om et topologisk rom. For eksempel er metriske mellomrom, manifolder, Hilbert-mellomrom, orbifolds og skjemaer alle topologiske mellomrom med litt mer struktur.
Et topologisk rom består av et sett med punkter, X og en samling delmengder av X som vi kaller «åpen», underlagt de vilkår som
- Det tomme settet og selve X er åpne,
- Enhver forening av åpne sett er åpen,
- Og skjæringspunktet mellom et par åpne sett er åpent.
De åpne settene skal være som de åpne undergruppene av \ mathbb {R}. I fare for å være vag, tenker vi på de åpne settene som disse delmengdene U av X, slik at hvert punkt i U har kan flyttes litt uten å forlate U. Dette er bokstavelig talt tilfelle for \ mathbb {R}, siden åpne sett der er definert til å være delsett U slik at for alle x \ i U er det en \ epsilon> 0 slik at (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ delsett U (dvs. flytter x med mindre enn \ epsilon vil ikke resultere i et punkt utenfor U).
Det viser seg at denne minimale mengden informasjon – et sett med punkter og en samling av åpne delmengder – er nok til å fortelle om funksjonene er kontinuerlige. Dette gjør topologiske rom veldig nyttige.
På den annen side er ikke hvert rom i matematikk et topologisk rom, eller til og med, som andre har svart, et sett med punkter med litt ekstra struktur. Dette var noe jeg ble forbauset over å lære for noen semestre siden.
Moteksemplet jeg har i tankene er ideen om en modulstabel, som (dette blir rart!) Er en bestemt type functor F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, hvor forhåndsbildet til hvert objekt D av \ mathcal {D} er tenkt på som samlingen av kontinuerlige funksjoner fra D til rommet som F skal representere.
Hvordan i all verden er dette et rom? For å få litt intuisjon, vurder settet med kontinuerlige funksjoner fra et rom som består av et enkelt punkt til et topologisk rom, X. For hvert punkt p \ i X får vi en funksjon som tar det eneste punktet til p. I denne forstand beskriver settet med kontinuerlige funksjoner fra et punkt til X punktene til X. Hvis vi vurderer funksjoner fra noe mer avansert, si et linjestykke, inn i X begynner vi å få en ide om hvordan punktene til X er relatert til hverandre – hvilke som kan kobles til hverandre via en sti, hvilke som er nærme og hvilke som er langt fra hverandre, og så videre. Ved å vurdere alle mulige sett med funksjoner til X kan vi faktisk utlede nøyaktig hva X er. Dette er en idé som går under navnet Yoneda Lemma . Ideen med en modulstabel er å bruke dette som en metafor: enhver funksjon som «ser ut» som den beskriver funksjoner i et topologisk rom, kan brukes til å definere et «rom».
Det jeg vil understreke er dette: det er mange slags rom i matematikk, men hvis du ønsker å få en grunnleggende ide om hva et rom er, bør du studere topologiske rom. Når det er sagt, blir ting rare!
Svar
Space i seg selv har ikke mye av en formell definisjon. Det er nesten en matematisk versjon av ordet «ting». Kanskje et nærmere synonym er «satt», men ordet «rom» betyr at det er noen ekstra ingredienser … noen strukturer … som også spiller. Ellers ville de bare bruke ordet «sett.»
Ulike typer mellomrom har definisjoner. Et vektorrom er et sett av vektorer som følger noen regler. Et topologisk rom er et sett sammen med en spesiell samling av undergrupper som tilfredsstiller noen regler. Et metrisk mellomrom er et sett sammen med en passende formel som forteller deg avstanden mellom punktene i settet. Ofte har de spesielle typene mellomrom beskrivende navn som disse.
Andre typer rom er oppkalt etter folk som studerte dem. Banach-mellomrom, Hilbert-mellomrom, Sobolev-rom … dette er alle spesielle typer vektorrom med litt ekstra struktur som gjør dem interessante på sin egen måte, og er oppkalt etter folk som var viktige for å utvikle den historien.