Beste svaret
2x + y = 5, x – y = 1 har en unik løsning på x = 2, y = 1. Linjene 2x + y = 5, x – y = 1 krysser på ett og bare ett punkt og det er (1,2).
Hvis det er to parallelle linjer som f.eks. x – y = 1 og x – y = 7, så er det ingen løsning på ligningene x – y = 1, x – y = 7.
Hvis to ligninger faktisk er de samme som x – y = 1,5 x – 5y = 5 så er ethvert punkt som ligger på den linjen en løsning slik x = 3, y = 2 eller x = 1000 y = 999, og det er ingen unik løsning.
Det blir litt mer interessant i en situasjon der det er 3 variabler, si x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 har en unik løsning av x = 1, y = 1, z = 1. Planene 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 krysser på ett og bare ett punkt og det er (1,1, 1).
Hvis det er tre parallelle plan som x + y + z = 1, x + y + z = 4 og x + y + z = 8, er det ingen løsning på ligningene x + y + z = 1, x + y + z = 4 og x + y + z = 8.
Hvis en ligning er en lineær kombinasjon av to andre, er det ingen unik løsning. Her er et eksempel 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. Ikke bare er (1,1,1) en løsning, men også (2,2, -2) og (3, 3, -7). Faktisk er det uendelig mange løsninger.
Årsaken er at en ligning er en lineær kombinasjon av de andre
3x + z = 4 er 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Det er mange referanser til dette, men forhåpentligvis vil dette gi deg en ide om hva unike løsninger i lineære systemer er.
Svar
Mitt svar kommer først til å anta at dette er et system med lineære ligninger sammenlignet med et system med lineære ulikheter.
Kort svar – Utelukkende alternativer: Ingen løsning, En unik løsning eller et uendelig antall løsninger.
Langt svar – Hvilke typer løsninger er, avhenger til en viss grad av hvor mange ligninger og hvor mange variabler i det lineære systemet og hvordan du vil beskrive systemet.
Algebraically:
- Et system uten løsninger kalles et inkonsekvent system . Det betyr at det ikke er noe verdisett for variablene som samtidig løser alle ligninger i systemet. Følgende system er inkonsekvent:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- Et system med nøyaktig én løsning kalles et konsistent, uavhengig system. Konsekvent fordi en løsning eksisterer og uavhengig fordi hver ligning er uavhengig av de andre ligningene. Dette betyr at hver verdi for variablene i løsningen er uavhengig av verdiene til de andre variablene. Det er nøyaktig ett sett verdier – en verdi per variabel – som samtidig løser alle ligningene i systemet. Følgende er et konsistent, uavhengig system (hentet fra mathisfun.com) med løsning x = 5 y = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- Et system med uendelig mange løsninger kalles et konsistent, avhengig system. Det er avhengig fordi minst en ligning i systemet er et multiplum av en annen ligning eller en kombinasjon av andre ligninger. Dette betyr at mens de andre variablene i systemet bare har en verdi som løser alle systemer samtidig, kan en eller flere variabler løse systemet med hvilken som helst verdi. Følgende er et konsistent, avhengig system med løsning y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y – 3 z = 3
- 2 x + 3 y – 2 z = 8
Grafisk (3 variabelt system som eksempel):
- Et system med to variabler kan representeres av en gruppe linjer i en todimensjonal graf (vanligvis xy), mens et system med tre variabler er en samling av linjer eller plan på en tredimensjonal graf (vanligvis xyz).Så, et system med n mange variabler er representert på en n- dimensjonsgraf.
- I et konsistent, uavhengig system møtes alle flyene på ett punkt (dvs. 2 vegger og et gulvmøte i et hjørne). I det konsistente, uavhengige systemet som brukes ovenfor i det algebraiske svaret, krysser de tre planene seg ved punkt (5,3,2).
- I en konsistent , avhengig system , møtes alle flyene ikke bare ett punkt, men på en linje (dvs. tre sider av et bokmøte ved ryggraden). I systemet som brukes ovenfor i det algebraiske svaret, krysser de tre planene seg på linjen -5 y + 20 z = 27 (Legg merke til at x kan være hvilken som helst verdi i løsningen).
- I en inkonsekvent system , minst to plan er parallelle og møtes dermed aldri. Det tredje planet kan være parallelt med begge flyene (dvs. veilinjer på en gate) eller kan krysse dem begge, men aldri på samme sted. (dvs. motsatte vegger i et rom og i taket).