Hva blir resten når 17 ^ 200 er delt med 18?


Beste svaret

\ mathbf {\ text {Første løsning.}}

17 ^ {200} \ equiv 17 ^ {200} \ pmod {18}

\ innebærer 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ innebærer 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ text {Andre løsning ved bruk av Eulers teorem.}}

\ text { (17, 18) er relativt førsteklasses. Vi kan bruke Eulers teorem.}

\ text {Eulers totient-funksjon.}

\ varphi (18) = 18 \ left (1 – \ dfrac {1} {2} \ høyre) \ venstre (1 – \ dfrac {1} {3} \ høyre) = 18 \ venstre (\ dfrac {1} {2} \ høyre) \ venstre (\ dfrac {2} {3} \ høyre) = 6

17 ^ {6} \ equiv 1 \ mod {18}

\ innebærer (17 ^ {6}) ^ {33} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ innebærer 17 ^ {198} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ innebærer 17 ^ {200} \ equiv 17 ^ 2 \ pmod {18}

\ innebærer 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ 2 \ pmod {18}

\ innebærer 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ derfor \, \, \ text {1 er resten når} \, \, 17 ^ {200} \, \, \ text {er delt med 18}}

Svar

Vi vil ha resten når 17 ^ {200} er delt med 18.

17 \ equiv (-1) \ pmod {18}.

\ Rightarrow \ qquad 17 ^ {200} \ pmod {18} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ qquad \ equiv 1 \ pmod {18} \ equiv 1.

\ Rightarrow \ qquad Resten når 17 ^ {200} er delt med 18 er 1.

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *