Beste svaret
Det er vanskelig å velge en, så jeg lar deg velge 🙂
- Eulers identitet
Ligningen kombinerer fem av de viktigste tallene i matematikk Dette er:
- 1 – grunnlaget for alle andre tall
- 0 – begrepet intethet
- pi – tallet som definerer en sirkel
- e – tallet som ligger til grunn for eksponentiell vekst
- i – den «imaginære» kvadratroten til -1
2. Einsteins feltligning ( sammendrag av de ti ligningene)
Fysikeren John Wheeler oppsummerte det kortfattet: «Romtid forteller saken hvordan man skal bevege seg ; materie forteller rom-tid hvordan man kurver. «
Einsteins ligning kan fortelle oss hvordan universet vårt har endret seg over tid, og gir glimt av det tidligste øyeblikket s av skapelsen. Det er ingen overraskelse at det er favoritten til mange forskere.
3. Bølgeligning
Bølgelikningen beskriver hvordan bølger forplantes. Det gjelder alle slags bølger, fra vannbølger til lyd og vibrasjoner, og til og med lys- og radiobølger.
Det er et plakatbarn for ideen om at matematiske prinsipper utviklet seg i ett område, eller for deres eget kan ha viktige applikasjoner på andre områder. Dens skjønnhet kommer fra kombinasjonen av disse egenskapene: eleganse, overraskelse, intellektuell dybde, nytte.
4. Logistikkartet
Logistikkartet er et av de klassiske eksemplene på kaoteteori.
Det kan oppsummeres som følger: stor kompleksitet kan oppstå fra veldig enkle regler.
Ligningen kan brukes til å modellere mange naturlige prosesser, for eksempel hvordan en populasjon av dyr vokser og krymper over tid.
Hvordan befolkningen oppfører seg viser seg å være enormt følsom for verdien av r, på kontraintuitive måter. Hvis r er mellom 0 og 1, vil befolkningen alltid dø, men hvis den er mellom 1 og 3, vil befolkningen nærme seg en fast verdi – og hvis den er over 3,56995, blir befolkningen vilt uforutsigbar.
Disse atferdene blir beskrevet som «kaotisk» av matematikere, og de er ikke det vi instinktivt forventer. Men de kommer alle ut av en ligning som er matematisk ganske enkel.
Det er det, foreløpig.
Hvis du tror at jeg savnet noen ligning, så fortell meg, jeg » Jeg legger til det i svaret 🙂
Svar
Jeg ser mange grunnleggende beregningsproblemer som involverer PEMDAS akkurat nå lagt ut her, men det er elementær matematikk som jeg er sikker på 99\% av folk som synes de er veldig flinke i matematikk, kan bli korrekte. Jeg la også merke til Bob Hocks ligning, som er veldig kreativ, men jeg tror ikke det er så vanskelig å bevise.
Problemet jeg legger ut her er 2006 AIME II Problem 15, som ser veldig komplisert ut, men bryter ned til noe ganske enkelt gjennom en kreativ relasjon:
Gitt at x, y og z er reelle tall som tilfredsstiller
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
og at x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, hvor m og n er positive heltall og n er ikke delelig med kvadratet til noen prime, finn m + n
Ved første øyekast løser vi et algebra-problem der vi trenger å finne summen. En første tanke kan være å kvadratere ligningene for å bli kvitt kvadratrøttene til en viss grad, men en slik metode er tydelig rotete.
Legg merke til at vi ikke trenger å løse for hver av x, y , z hver for seg, og bare trenger summen deres, kan vi vurdere å legge til de tre gitte ligningene, som gir
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Vi har det vi har behov på den ene siden, men den andre siden ser ikke ut som om noe vil avbrytes, så dette virker ikke riktig.
En tredje idé ville være å faktorisere uttrykket inne i kvadratrøttene ved å bruke forskjellen i firkanter. siden de gitte brøkene er perfekte ruter. Å gjøre det gir
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
osv., men likevel er det ingen klar måte å manipulere faktorene på en hvilken som helst nyttig måte. Kort sagt, vi kan prøve å løse en variabel om gangen, men det er ingen klar måte å gjøre det på.
Det viser seg at den beste løsningen på dette problemet er å tenke geometrisk. Husk Pythagoreas teorem sier at i en rett trekant med ben a, b og hypotenuse c, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Vi kan manipulere dette for å få en = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}. Dette er nøyaktig formen for vilkårene på ligningens RHS.
Hvis vi tegner en trekant tilsvarende med denne erkjennelsen, kan vi fra den første ligningen danne to høyre trekanter med høyden \ frac {1} {4}, og med hypotenusen y og z. x er lik summen av den tredje lengden av hver høyre trekant. Hvis vi lar høyden på de høyre trekantene være det samme linjestykke av lengden \ frac {1} {4}, danner vi en større trekant med sidelengder x, y, z og høyden på \ frac {1} {4} på x-siden.
Fortsatt med den samme ideen for den andre og tredje ligningen, får vi at høyden på trekanten på y- og z-sidene er \ frac {1} {5} og \ frac {1} {6}, henholdsvis. Fra arealligningen til en trekant kan vi få
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {and} y = \ frac {5} {6} z
Videre, fra Herons formel , vi får
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
Ved å erstatte i z fra de andre områdeformlene, forenkles dette til
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Dermed
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
så m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}