Beste svaret
Deloperatoren er en måte å finne derivatet av en vektor. Du kan være kjent med å finne derivatet for skalarfunksjoner, som kan representeres av noe av skjemaet
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f «(x)
der f (x) er en funksjon av x, f «(x) er dets derivat, og \ frac {d} {dx} er begrepet som forteller oss å ta derivatet i utgangspunktet. Du kan tenke på \ frac {d} {dx} som derivatoperatøren, fordi den forteller deg at du skal ta et derivat av det som er ved siden av.
Nå vil vi også gjøre dette for vektorer, ofte som de som er representert i kartesiske koordinater (funksjoner av x, y og z). Hvorfor? Fordi mange fysiske fenomener (som elektriske eller gravitasjonsfelt) kan beskrives som vektorer, og endringene av dette fenomenet (og dermed derivatene) er viktige.
Så hvordan tar vi derivatet av en vektor ? Vi bruker Del-operatøren. Siden vi vil bruke den med vektorer, må den være en vektor i seg selv. Og siden vi vil bruke den til alle de tre kartesiske koordinatene og ikke bare x, vil den ha flere bokstaver. Til slutt ser Del-operatøren veldig ut som den ovennevnte derivatoperatøren, men med noen få termer:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partial} {\ partial x } + {\ hat y} \ frac {\ partial} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial} {\ partial z}
\ nabla er det vi kaller Del operatør, selv om symbolet offisielt er en nabla; Jeg ble helt ærlig bare lært at det ble kalt et opp ned delta! Foruten bare et derivat med hensyn til x, tar vi nå også delvise derivater med hensyn til y og z. Når vi tar en delvis derivat, behandler vi bare alle variablene unntatt en som konstanter, og tar derivatet med hensyn til den valgte variabelen.
Nå, siden det er to måter å multiplisere vektorer på, får vi naturlig to måter å ta et vektordivat på. De to måtene å multiplisere vektorer på er å bruke punktprodukt og kryssprodukt ; resultatet av hver multiplikasjon er henholdsvis en skalarverdi og en vektorverdi.
Et eksempel som bruker punktproduktet er å beregne divergensen i det elektriske feltet:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Her tar vi et derivat ved hjelp av punktproduktet, og sitter igjen med den skalære verdien {\ rho} \_v, som er volumladetettheten i en region.
Et eksempel på å bruke kryssproduktet er å beregne krøllen til det elektriske feltet:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Her tar vi et derivat ved hjelp av kryssproduktet, og sitter igjen med vektorverdien \ mathbf {B} (nærmere bestemt dets tidsderivat).
Deloperatoren er imidlertid også nyttig utenfor vektorer. Hvis vi behandler Del Operator som bare en sum av tre forskjellige ting, kan vi multiplisere den med en eller annen skalarfunksjon, og den funksjonen blir distribuert over hele greia:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x} + {\ hat y} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial z}
I dette tilfellet har vi gjort en skalar til en vektor! Dette er kjent som å ta gradienten av skalarfunksjonen. Hva den gjør, er at den forteller deg hvilken retning funksjonen endres raskest i. Dette brukes ofte for potensielle felt, som har form:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
der \ mathbf {U} er en potensiell energi (for eksempel en fjær eller tyngdekraft) og F er kraften som skyldes å bli plassert i det feltet. Det er fremdeles et vektordivat, det er det vi beskrev Del Operator som tidligere, det er bare at det er vektorderivatet til en skalar i stedet for vektorderivatet til en vektor. Ja, de finnes også!
Og det fortsetter. Du har kanskje sett begrepet {\ nabla} ^ 2; dette er kjent som laplacian, og ses i ting som bølgeligning. Det er egentlig bare å bruke Del Operator to ganger på rad. Den kan utvides til andre koordinatsystemer med flere variabler, eller reduseres til to eller en dimensjon. Det er et veldig viktig konsept, og blir brukt i omtrent alle grener av fysikk!
Svar
Deloperatoren (også noen ganger kalt en nabla) er definert som følger i kartesiske koordinater :
\ nabla \ equiv \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {k}
Når det gjelder den fysiske betydningen?
Del-operatoren fungerer som vektorkalkvivalenten til et romlig derivat. Det er tre typer derivater knyttet til deloperatøren. La oss anta at A er en vektor, og \ phi er en skalar.
Gradient: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ hat {k}
Divergens: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ partial A\_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial A\_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial A\_z} {\ partial z}
Krølling: krøll (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ partial} {\ partial x} & \ frac {\ partial} {\ partial y} & \ frac {\ partial} {\ partial z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
Hver av disse typer derivater har interessante egenskaper som du kan Google selv.
Håper dette hjelper!
Merk: Alle disse ligningene er forskjellige i andre koordinatsystemer (f.eks. sfærisk, sylindrisk) . Vær forsiktig!