Beste svaret
De fleste sekvenser du kommer over er gitt med en formel for n- term: a\_n = f (n) der f er en funksjon bygget ut av aritmetiske operasjoner, krefter, røtter, eksponentiering, logger og noen ganger andre funksjoner. Spørsmålet er hva som skjer når n nærmer seg uendelig. Er \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n) et endelig tall, det vil si konvergerer sekvensen, eller skjer det noe annet? Divergerer det til \ infty eller to – \ infty, pendler det mellom to forskjellige tall, eller bryter alt kaos løs?
Hvis du ikke er interessert i sikkerhet, men fornøyd med et svar som » Hvis det kommer til å være riktig i de fleste situasjoner, kan du bare beregne a\_ {1000} eller et annet sted langt ute i sekvensen. For de fleste sekvenser du møter, bør det svare på spørsmålet ditt.
Men det er ikke spørsmålet ditt. Du vil virkelig vite om sekvensen konvergerer eller ikke. Du vil ha sikkerhet, og hvis mulig, vil du å vite hvilket tall det konvergerer til. Dessverre kan skjemaene sekvensene ha ubegrensede. Det beste du kan gjøre er å ha flere prinsipper som vil ivareta de fleste tilfeller. Her er noen prinsipper.
- Rasjonelle funksjoner , det vil si kvoter av polynomer, for eksempel a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Du kan se hva som kommer til å skje hvis du deler teller og nevner med den høyeste kraften til n som er tilstede. Du kan oppsummere alt i en teorem: Hvis telleren er den samme som graden av nevneren, så konvergerer sekvensen til forholdet mellom de ledende koeffisientene (4/3 i eksemplet); hvis nevneren har en høyere grad, så konvergerer sekvensen til 0; hvis telleren har en høy r grad, så divigerer sekvensen til \ infty hvis de fremste koeffisientene har samme tegn, eller til – \ infty hvis de har forskjellige tegn.
- Kvoter av algebraiske funksjoner som involverer røtter som a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Del teller og nevner med en brøkstyrke på n. I dette eksemplet vil \ sqrt n gjøre det.
- Komposisjoner , for eksempel a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. Den ytre funksjonen, sinus, er en kontinuerlig funksjon, og kontinuerlige funksjoner opprettholder grenser. I dette tilfellet har vi \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, så den originale sekvensen nærmer seg \ sin0 = 0. Men vurder a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} i stedet. Her har vi \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ til \ infty, og \ sin x svinger mellom –1 og 1 som x \ til \ infty, så denne sekvensen har ingen grense.
- Relative vekstordrer . Ofte vil du ha a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)} hvor både f (n) \ til \ infty og g (n) \ til \ infty. Hva som skjer med kvotienten avhenger av om teller eller nevner vokser raskere. Jeg bruker symbolet \ prec for å indikere at man vokser mye langsommere enn en annen, det vil si f \ prec g betyr \ lim\_ {n \ til \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. Det er nyttig å kjenne noen av disse, og du gjør det. For eksempel n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. Dette er alle eksempler på polynomer, men du bør kjenne noen få andre funksjoner \ logg n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- L «Hôpital» s regel . Selv om sekvenser er diskrete, hvis den kontinuerlige grensen konvergerer, eller hvis den avviker til pluss eller minus uendelig, så har den diskrete grensen. Så hvis du for eksempel «har a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} og du ikke brukte ordrene nevnt ovenfor, kan du bruke L» Hôpital » siden. I grensen \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, teller og nevner nærmer seg uendelig, vil denne grensen være den samme som begrense hvor du erstatter teller og nevner med deres derivater, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, og hvis det fremdeles ikke er klart hva som skjer, siden dette også er av skjemaet \ infty / \ infty, kan du bruke L «Hôpital» s regel ag ain.
- Den spesielle grensen for e ^ x. Noen ganger brukes dette som definisjonen av den eksponentielle funksjonen. Det er verdt å vite, og det kommer ofte i nyttige sekvenser. (1 + x / n) ^ n \ til e ^ x
Jeg er sikker på at det er flere teknikker. Ikke glem å forenkle bruk av algebra mens du går.
Svar
Få tester for å teste konvergensen av sekvenser.
1. Gitt en sekvens a\_n og hvis vi har en funksjon f (x) slik at f (n) = a\_n og \ lim\_ {n \ til \ infty} f (x) = L så \ lim\_ {n \ til \ infty} a\_n = L
2. Hvis \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0 så \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3. Sekvensen {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty konvergerer hvis -1 \ ler \ le1.
4. For en sekvens \ {a\_n \} hvis \ lim\_ {n \ til \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L, så er a\_n konvergent med grense L.