Beste svaret
En kontravariant tensor av rang 2 er symmetrisk hvis den er uforanderlig under permutasjon av indeksene. Komponentene endres ikke ved utveksling av indeksene og tilfredsstiller følgende:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
Tilsvarende er en kovariant tensor av rang 2 symmetrisk hvis det er uforanderlig under permutasjon av indeksene, og komponentene tilfredsstiller følgende:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
Tensorer av rang 2 kan vanligvis representeres av matriser , så symmetrien til en tensor er i det vesentlige relatert til symmetrien til matrisen som representerer den. Det er kjent at hvis oppføringene til en symmetrisk (firkant) matrise uttrykkes som A = (a\_ {pq}), så er a\_ {pq} = a\_ {qp} for alle indeksene p og q. Den symmetriske matrisen er lik dens transponering ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Eksempler på andre rang symmetriske tensorer inkluderer metrisk tensor g \_ {\ mu \ nu} , eller Cauchy-stress-tensoren ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}) som kan skrives i matriseform som:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ end {matrix}} \ right]}
Hvis vi for eksempel har en høyere rangtensor av skjemaet
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
tensoren sies å være symmetrisk i m og p.
En tensor som er symmetrisk med hensyn til to kontravariant to kovariante indekser sies å være symmetriske.
En tensor kalles skjev-symmetrisk eller antisymmetrisk hvis
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
Generelt sett er en symmetrisk tensor er en tensor som er uforanderlig under permutasjon av vektorargumentene:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
for hver permutasjon σ av symbolene {1, 2, …, r }. Alternativt, en symmetrisk tensor av orden eller rang r representert i koordinater som en mengde med r indekser tilfredsstiller
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Svar
Matriser er rektangulære matriser av elementer fra et felt (vanligvis \ mathbb {R} eller \ mathbb {C}, men ikke alltid) som har en drift av multiplikasjon med en annen matrise og multiplikasjon med et feltelement definert.
Matriser brukes til å representere et stort antall forskjellige ting:
- koeffisienter av lineære ligninger
- lineære transformasjoner (gitt et bestemt ordnet sett med basisvektorer)
- basisendring av vektorrom (gitt to ordnede sett med basisvektorer)
- tensorer (spesifikt rekkefølge 2 tensorer)
- visse grupper
- osv.
Noen av disse bruksområdene kan bli forvirrede: gitt en ikke-ensidig kvadratmatrise uten kontekst, det er umulig å fortelle å se på det hvis det representerer en lineær transformasjon (eller på hvilket grunnlag den er), en grunnendring eller en tensor.
Kort sagt, matriser er veldig generelle.
Tensorer er flerlinjære funksjoner på vektorer og funksjonelle (doble vektorer). Med andre ord er en rekkefølge n + m tensor en funksjon på n vektorer og m doble vektorer som returnerer et reelt eller komplekst tall, og er lineær på alle argumentene.
Tensorer på endelige dimensjonale vektorrom kan representeres av et n + m-dimensjonalt utvalg av elementer fra feltet i vektorområdet, og for ordre 2 tensorer blir dette ofte representert som en matrise. I likhet med matriksrepresentasjonen av lineære transformasjoner, er den flerdimensjonale arrayrepresentasjonen av en tensor avhengig av grunnlaget som brukes.
Tensorer blir ofte beskrevet, brukt og noen ganger til og med definert i form av flerdimensjonale matriser av feltelementer, med forbehold om begrensningen av hvordan tensoren transformeres med hensyn til differensialendringer i basisvektorene. Men i sitt hjerte er de flerlinjære funksjoner på vektorer og lineære funksjoner.