Beste svaret
cos (3x) = 4cos ^ 3 (x) – 3cos (x)
Her er noen viktige resultater.
- Pythagoras identiteter sin 2X + cos 2X = 1 1 + tan 2X = sec 2X 1 + barneseng 2X = csc 2X
- Negativ vinkelidentitet sin (-X) = – sin X, odde funksjon csc (-X) = – csc X, odd funksjon cos (-X) = cos X, jevn funksjon sec (-X) = sek X, jevn funksjon tan (-X) = – tan X, odd funksjons barneseng (-X) = – barneseng X, odd funksjon
- Samfunksjoner Identiteter sin (π / 2 – X) = cos X cos (π / 2 – X) = sin X tan (π / 2 – X) = barneseng X barneseng (π / 2 – X) = tan X sek (π / 2 – X) = csc X csc (π / 2 – X) = sek X
- Tilsetningsformler cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y cos (X – Y) = cos X cos Y + sin X sin Y sin (X + Y) = sin X cos Y + cos X sin Y sin (X – Y) = sin X koselig – cos X sin Y tan (X + Y) = [tan X + tan Y] / [1 – tan X tan Y] tan (X – Y) = [tan X – tan Y] / [1 + tan X tan Y] barneseng (X + Y) = [barneseng X barneseng Y – 1] / [barneseng X + barneseng Y] barneseng (X – Y) = [barneseng X barneseng Y + 1] / [barneseng Y – barneseng X]
- Sum til produktformler
cos X + cos Y = 2cos [(X + Y) / 2] cos [(X – Y) / 2]
sin X + sin Y = 2sin [(X + Y) / 2] cos [ (X – Y) / 2]
- Forskjell til produktformler cos X – cos Y = – 2sin [(X + Y) / 2] sin [(X – Y) / 2] sin X – sin Y = 2cos [(X + Y) / 2] sin [(X – Y) / 2]
- Produkt til sum / forskjell Formler cos X cos Y = (1/2) [cos (X – Y) + cos (X + Y)] sin X cos Y = (1/2) [sin (X + Y) + sin (X – Y)] cos X sin Y = (1/2) [sin (X + Y) – sin [(X – Y)] sin X sin Y = (1/2) [cos (X – Y) – cos (X + Y)]
- Forskjell av kvadrater Formler sin 2X – sin 2Y = sin (X + Y) sin (X – Y) cos 2X – cos 2Y = – sin (X + Y) sin (X – Y) cos 2X – sin 2Y = cos (X + Y) cos (X – Y)
- Dobbelvinkelformler sin (2X) = 2 sin X cos X cos (2X) = 1-2 sin 2X = 2cos 2X – 1 tan (2X) = 2tan X / [1 – tan 2X]
- Flere vinkelformler
- sin (3X) = 3sin X – 4sin 3X cos (3X) = 4cos 3X – 3cos X sin (4X) = 4sin X cos X – 8sin 3X cos X cos (4X) = 8cos 4X – 8cos 2X + 1
- Halvvinkelformler sin (X / 2) = ± √ [(1 – cos X) / 2] cos (X / 2) = ± √ [(1 + cos X) / 2] tan (X / 2) = ± √ [(1 – cos X) / (1 + cos X)] = sin X / (1 + cos X) = (1 – cos X) / sin X
- Effektreduserende formler sin 2X = 1/2 – (1/2) cos (2X)) cos 2X = 1/2 + (1 / 2) cos (2X)) sin 3X = (3/4) sin X – (1/4) sin (3X) cos 3X = (3/4) cos X + (1/4) cos (3X) sin 4X = (3/8) – (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X) cos 4X = (3/8) + (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X) sin 5X = (5/8) sin X – (5/16) sin (3X) + (1/16) sin (5X) cos 5X = (5/8) cos X + (5/16) cos (3X) + (1/16) cos (5X) sin 6X = 5/16 – (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) – (1/32) cos (6X) cos 6X = 5/16 + (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) + (1/32) cos (6X) ·
- Trigonometriske funksjoner Periodisitet sin (X + 2π) = sin X, periode 2π cos (X + 2π) = cos X, periode 2π sek (X + 2π) = sek X, periode 2π csc (X + 2π) = csc X, periode 2π tan (X + π) = tan X, periode π barneseng (X + π) = barneseng X, periode π
Håper dette vil hjelp
Svar
Hva med to fugler i en stein? Jeg finner formelen for \ sin {3x} også!
Husk De Moivres teorem:
(\ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ n = \ cos {(n \ theta)} + i \ sin {(n \ theta)}
Så,
(\ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ 3 = \ cos {(3 \ theta)} + i \ sin {(3 \ theta)}
Utvide LHS ved hjelp av Binomial Theorem
( \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ 3
= (\ cos {\ theta}) ^ 3 + 3 (\ cos {\ theta}) ^ 2 (i \ sin {\ theta}) + 3 (\ cos {\ theta}) (i \ sin {\ theta}) ^ 2 + (i \ sin {\ theta}) ^ 3
= \ cos ^ 3 {\ theta} + 3i \ cos ^ 2 {\ theta} \ sin {\ theta} – 3 \ cos {\ theta} \ sin ^ 2 {\ theta} – i \ sin ^ 3 {\ theta}
= \ cos ^ 3 {\ theta} + 3i (1 – \ sin ^ 2 {\ theta}) \ sin {\ theta} – 3 \ cos {\ theta} (1 – \ cos ^ 2 {\ theta}) – i \ sin ^ 3 {\ theta}
= \ cos ^ 3 {\ theta} + 3i (\ sin {\ theta} – \ sin ^ 3 {\ theta}) – 3 (\ cos {\ theta} – \ cos ^ 3 {\ theta}) – i \ sin ^ 3 {\ theta}
= \ cos ^ 3 {\ theta} – 3 \ cos {\ theta } + 3 \ cos ^ 3 {\ theta} + i (3 \ sin {\ theta} – 3 \ sin ^ 3 {\ theta} – \ sin ^ 3 {\ theta})
= 4 \ cos ^ 3 {\ theta} – 3 \ cos {\ theta} + i (-4 \ sin ^ 3 {\ theta} + 3 \ sin {\ theta})
Sammenligning av det virkelige og imaginære deler av LHS og RHS, får vi:
\ boxed {\ boxed {\ cos {(3 \ theta)} = 4 \ cos ^ 3 {\ theta} – 3 \ cos {\ theta}}}
\ boxed {\ boxed {\ sin {(3 \ theta)} = -4 \ sin ^ 3 {\ theta} + 3 \ sin {\ theta}}}