Beste svaret
Avledningen av denne summen er lik den for
\ displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
La
S = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) \ tag * {(1)}
Siden tillegg er kommutativ, kan vi skrive S i omvendt slik
S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ prikker + 1 \ tag * {(2)}
Legger til disse to representasjoner ord for ord gir oss
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ prikker (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ understøtte {2n + 2n + \ prikker 2n} \_ {\ text {n ganger}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
Herfra følger det åpenbart at
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
Dette er et kjent resultat som kan bevises ved induksjon, som jeg vil fortsette og gjøre akkurat nå. For å gjøre dette må vi vise at
H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(Merk: Jeg bruker H\_ {0} som en stenografisk referanse for hypotesesetningen)
For å vise at H\_ { 0} holder via induksjon, må vi vise at likheten gjelder for basissaken, n = 1, og induksjonssaken, n = k + 1, k \ in \ mathbb {N}. Basissaken er åpenbar siden 1 = 1 ^ {2} = 1, noe som gir oss induksjonssaken.
k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1 ) ^ {2} \ tag * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
Vi ser at likheten holder for k + 1, derved bevis for at H\_ {0} faktisk er sant. Dermed kan vi definitivt hevde at vår avledning av (6) faktisk er riktig.
1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
Svar
La oss se og se. Alle kan i det minste observere de første få tilfellene, ikke sant?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Kjenner du igjen tallene til høyre?
1,4,9,16,25, \ ldots
Ja! De er de perfekte rutene. 1 \ ganger 1, 2 \ ganger 2, 3 \ ganger 3, 4 \ ganger 4 og så videre.
Vi har nå en antagelse. La oss sette det på prøve:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Ja! De seks minste oddetallene legger opp til 6 ^ 2, akkurat som vi hadde spådd. Du kan prøve noen flere: det fungerer.
Hvis vi er fysikere, stopper vi her. Vi har gjort en observasjon, vi dannet en hypotese, vi testet hypotesen vår eksperimentelt en og to ganger og hundre ganger, den fungerer alltid, ferdig. Teorien vår er riktig til et eksperiment tilbakeviser den. er matematikere, ikke vi. Vi krever bevis. Og det er strenge bevis mange av dette fine lille faktum.
Men det er også et krystallklart visuelt bevis. Her er det:
EDIT: mange mennesker har bedt om et grundig bevis. Her er det relativt enkelt som kan utledes av dette visuelle beviset.
Vi merker at oddetallene er bare forskjellene mellom påfølgende ruter, slik:
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
og så videre. Derfor når vi legger dem sammen, kansellerer alt unntatt den siste firkanten:
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
Så la oss skrive dette formelt for et hvilket som helst antall oddetall som legges sammen. k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
og derfor er summen av de første n oddetallene, som er
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
er lik
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED