Beste svaret
For å være presis, kan du ikke ta krøllingen til en enkelt vektor. Du trenger et vektorfelt for å ta krøllen, noe sånt som dette:
Krøllen er en differensialoperator som tar et tredimensjonalt vektorfelt og spytter ut et annet tredimensjonalt vektorfelt.
For å få en følelse av hva krøllen betyr, forestill deg at vi har et vektorfelt som representerer hastigheten til en væske. Det vil si at væsken fyller litt plass, og «hastighetsfelt» forteller oss hva fluidets hastighet er på hvert punkt i det rommet. Hvis vi tar krøllen til hastighetsfeltet, får vi et nytt vektorfelt som forteller oss, grovt sett, hvordan væsken roterer ved hver punkt i rommet. Spesielt forteller størrelsen på krøllingsvektoren deg styrken på rotasjonen, og retningen forteller deg rotasjonsretningen i henhold til Høyre-regel .
I kartesi en koordinater, kan krøllen beregnes som kryssproduktet til deloperatøren og det opprinnelige feltet: \ mathrm {curl} (\ vec {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = ( \ frac {\ partial F\_z} {\ partial y} – \ frac {\ partial F\_y} {\ partial z}) \ hat {x} + (\ frac {\ partial F\_x} {\ partial z} – \ frac {\ delvis F\_z} {\ delvis x}) \ hatt {y} + (\ frac {\ delvis F\_y} {\ delvis x} – \ frac {\ delvis F\_x} {\ delvis y}) \ hatt {z}
En av de største grunnene til at krøllen er viktig, er Helmholtz-nedbrytningen . I utgangspunktet er alt du trenger for å karakterisere et vektorfelt fullstendig dens avvik og krølling. Dette brukes med stor effekt, for eksempel i Maxwell-ligningene, som ved å spesifisere krølling og divergens av de elektriske og magnetiske feltene, lar deg løse for feltene:
Svar
Ulike mennesker kan finne forskjellige analogier / visualiseringer nyttige, men her er det et mulig sett med» fysiske betydninger «.
Divergens: Se for deg en væske, med vektorfeltet som representerer fluidets hastighet på hvert punkt i rommet. Divergens måler nettostrømmen av væske ut av (dvs. avviker fra) et gitt punkt. Hvis væske i stedet strømmer inn i det punktet, vil divergensen være negativ.
Et punkt eller en region med positiv divergens blir ofte referert til som en» kilde «(av væske, eller hva som helst feltet beskriver), mens et punkt eller en region med negativ divergens er en «vask».
Krølling: La oss gå tilbake til væsken vår, med vektorfeltet som representerer væskehastighet. Krøllen måler i hvilken grad væsken roterer rundt et gitt punkt, med boblebad og tornadoer som ekstreme eksempler.
Se for deg en liten del væske, liten nok til at krøllen er mer eller mindre konstant i den. Du er også krympet veldig liten, og blir fortalt at du trenger å svømme en runde rundt omkretsen av den væsken. Velger du å svømme rundt klokken, eller mot klokken? Hvis hastighetens krøll er null, betyr det ikke noe. Men hvis det ikke er null, vil du i en retning for det meste gå med strømmen, og i den andre retningen ville du gå mest mot strømmen, og så ditt retningsvalg ville ha betydning. Krølletegnet vil fortelle deg hvilket som er riktig valg.
Gradient: Selv om det er helt gyldig å ta gradienten til et vektorfelt, er resultatet en rang 2 tensor (som en matrise), og det er derfor vanskeligere å forklare intuitivt (selv om kanskje noen andre vil klare det). Så i stedet snakker jeg om gradienten til et -felt -felt: spesifikt feltet som gir bakken over havet ved et gitt punkt på jorden (spesifisert, si når det gjelder bredde og lengdegrad).
I den situasjonen er gradienten faktisk ganske enkel: den peker «oppoverbakke» (i bratteste retning), og størrelsen forteller hvor bratt det er. For eksempel, hvis stigningen peker nordøst med en styrke på 0,2, så er retningen for den bratteste stigningen nordøst, og hver meter du reiser nordøst vil resultere i 0,2 meter høydeøkning.
For gradienten til et vektorfelt kan du tenke på det som gradienten til hver -komponent i det vektorfeltet hver for seg, hver av dem er en skalar.