Hva er ligningen til en sirkulær kjegle?


Beste svaret

Jeg antar at det er en rett sirkulær kjegle med baseradius R og høyde H, sentrert ved opprinnelsen O og aksen er langs Z-aksen, passerer X- og Y-aksene gjennom basen.

I dette scenariet kan vi uttrykke det som en serie sirkler eller skiver plassert oppå hverandre, jevnt redusert i radius fra bunn til topp.

Så radiusen til sirkelen i en viss høyde h fra toppen vil være r = htan (θ) hvor θ er den semi-vertikale vinkelen.

Ligningen til en slik sirkel vil være x ^ 2 + y ^ 2 = h ^ 2tan ^ 2 (θ).

Hvert punkt på denne sirkelen kan uttrykkes i det 3-koordinater kartesiske rommet som (htan (θ) cos (Φ), htan (θ) sin (Φ), Hh).

Hvor h varierer fra 0 øverst til H nederst, og Φ er den parametriske vinkelen for det generelle punktet på sirkelen.

Dette beskriver en serie konsentriske sirkler med jevnt avtagende radius, og gjør den til en hul kjegle med en åpen base.

Erstatte = symbol i sirkelligningen med vil gjøre det til et sett med alle punkter som ligger på eller inne i sirkelen, noe som gjør den til en solid kjegle.

Svar

Jeg avledet dette selv. Se om du kan finne bedre løsninger andre steder.

Dette er for en konisk form som strekker seg langs og gjennom z-aksen.

x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 \ cdot z ^ 2

Dette er enkelt å forstå, da radiusen skal øke lineært når z-komponenten endres for en konisk form.

I dette tilfellet r = a \ cdot zr \ propto z

a definerer skråningen på konusens skrå overflate. Hvis toppvinkelen er 2 \ mathrm {\ theta}, så a = \ mathrm {tan} (\ mathrm {\ theta})

Oppdatering 1: Hvis du vil ha kjeglen med radius r, akselengde h for å ha en bestemt toppunkt \ mathrm {(x\_0, y\_0, z\_0)} og aksen er parallell med z-aksen.

Da vil ligningen være (x-x\_0) ^ 2 + (y -y\_0) ^ 2 = a ^ 2 \ cdot (z-z\_0) ^ 2 med begrensningen 0 \ le z\_0-z \ le h Merk at dette vil gi kjeglen hvis toppunkt peker oppover; for den andre kjeglen, bare endre begrensningen til 0 \ le z-z\_0 \ le h.

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *