Beste svaret
\ frac {d} {dx} er ikke en «ting». Du bør tenke på det som om det er navnet på en handling eller operasjon, eller en funksjon som tar en inngang. [1]
Spesielt hvis f (x) er en funksjon, kan det være lurt å utføre handlingen av differensiering på den funksjonen; en måte å skrive handlingen på er \ frac {d} {dx} f (x). Dette betyr at f (x) er inngangen til operasjonen av differensiering-med-respekt-til-x.
Grammatisk er ikke \ frac {d} {dx} «en komplett setning» , eller til og med et selvforsynt substantiv. Det er mer som et verb som trenger et direkte objekt. Det direkte objektet kan være en hvilken som helst funksjon av x – spesielt hvis y er en funksjon av x, så er \ frac {d} {dx} y fornuftig å skrive . På engelsk betyr denne setningen «resultatet av å ta derivatet-med-respekt-til-x av y». For kortfattethet skriver vi vanligvis dette som \ frac {dy} {dx}, men til du er komfortabel med \ frac {d} {dx} -notasjonen, foreslår jeg at du fortsetter å skrive innspillene til differensieringsoperasjonen til høyre, slik jeg har gjort.
Til ditt andre spørsmål: kjederegelen er metoden for å beregne et avledet av en sammensetning av funksjoner.
[1] Ja, jeg vet, funksjoner er også ting.
Svar
La f være funksjonen:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ høyre) der x\_ {1} = x\_ {1} \ venstre (t \ høyre), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ venstre (t \ høyre)
La «beregner \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Ved å differensiere (1) får vi:
(2) df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f } {\ partial x\_ {n}} dx\_ {n}
Hvis vi deler begge sider med dt, blir resultatet:
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ tekst {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Vi får sluttresultatet:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} x «\_ {1} (t) + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {n}} x «\_ {n} (t) Denne avledningen gjøres ved å bruke definisjonen av differensial av en multivariabel funksjon (ligning (2)).
Så hvordan fikk vi denne definisjonen? La oss først se hvordan vi definerer at f kan differensieres på et tidspunkt A.
Hvis vi kan vise at den totale differensialen til en funksjon f på et tidspunkt A ser slik ut:
\ trekant f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ trekant x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
der p\_ {k} er en numerisk koeffisient, \ omega er en funksjon som har en egenskap som \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 og \ rho (X, A) er euklidisk avstand mellom A og X så sier vi at funksjon f kan differensieres ved punkt A.
Nå trenger vi en setning til:
Uttrykk \ omega (X) \ rho (X, A) fra ovenstående kan skrives som:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Bevis:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ left (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ right) \ right)
siden | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), fordi | x\_ {k} -a\_ {k} | er kanten en d \ rho (X, A) er diagonalen av rettvinklet parallellpiped, vi kan ta brøkdelen til å være \ epsilon\_ {k} (X).
Vi trenger nå bare ett setning til for å komme til differensialet. Denne teoremet gir oss nødvendige betingelser for å ha differensialen til funksjonen.
Hvis funksjonen f er kan være differensiert på et tidspunkt A, så er det delvise differensialer på det punktet, og det er sant at:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Bevis:
Siden vi har sagt at f kan differensieres ved punkt A, kan vi skrive:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
La oss si at n-1-variabler her er konstante, og vi lar bare en endring for litt. For eksempel: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n} får vi:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. På venstre side har vi differensial i forhold til x\_ {1}. Hvis vi deler begge sider med x\_ {1} -a\_ {1} = \ trekant x\_ {1} får vi:
\ frac {\ trekant f\_ {x\_ {1}}} {\ trekant x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Nå, hvis x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , det vil si \ triangel x\_ {1} \ mapsto 0, på venstre side har vi delvis differensial i forhold til x\_ {1}, og på høyre side sitter vi igjen med p\_ {1} fordi vi har sagt at \ omega (X) \ mapsto 0. Det er lett å se at det samme resultatet gjelder uansett hvilken variabel vi ender med å endre, derfor har vi bevist denne setningen. Herfra har vi den
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ { n}} dx\_ {n} som vi brukte til å finne løsningen.