Beste svaret
Vil forklare ved hjelp av et eksempel. Figur viser et fagverk lastet og støttet som vist. Vår interesse er å finne ut reaksjoner og krefter i alle medlemmene i et fagverk. Reaksjonene og kreftene i elementene avhenger ikke bare av størrelsen og retningen til de påførte kreftene, men også av deres plassering, dvs. påføringspunktene. Romdiagrammet tar seg av kraftens påføring og geometrien til fagverket.
Figuren ovenfor er bare for å få reaksjonene. Anvendt kraft P\_1 er ab og kraft P\_2 er bc i vektordiagrammet. Reaksjon R\_1 er lik da og Reaksjon R\_2 er lik cd i vektordiagrammet.
Vi kan gå videre med romdiagrammet og vektordiagrammet for å beregne krefter i alle elementene. Ikke gjort her bare for å holde figuren veldig enkel å forstå.
Likevektstilstand oppfylles når vektordiagrammet og kabelbanen polygon lukkes.
Svar
Det er ikke helt klart hva «posisjoner» betyr her, men jeg tror et svar kan være at vektorer ikke har posisjoner, men vektorrom kan ha posisjoner, og disse to ideene dekker applikasjonene.
I Jeg antar her at mangelen på «posisjonalitet» i spørsmålet refererer til det faktum at parallelle «piler» med samme lengde og retning representerer den samme vektoren. Det er mange grunner til å innføre denne konvensjonen.
- En av de grunnleggende ideene som ligger til grunn for grunnleggende vektorbruk er begrepet en forskyvning , som også er kilden til hastighet, akselerasjon og (via F = ma) kraft. Forskyvninger har ikke posisjon, det er snarere en potensiell forskyvning av en gitt retning og størrelse på hver posisjon. Hvis vi sier «gå ti mil nordvest», er det en forskyvningsinstruksjon som gjelder overalt og ikke bare et bestemt sted.
- Forskyvninger kan kombineres, men bare hvis den andre forskyvningen begynner der den første slutter. . Hvis forskyvningene er representert av piler, må en av pilene oversettes for å få en kombinert forskyvning for å få en hale-mot-hode-konfigurasjon for den kombinerte forskyvningen. Dette ville selvfølgelig ikke være fornuftig hvis den oversatte pilen ikke fortsatte å representere den samme forskyvningen.
- Erfaring med styrkenes oppførsel krever evnen til å oversette kraftpiler rundt, siden når det gjelder krefter objekter oppfører seg som om all massen deres er konsentrert i tyngdepunktet og alle krefter virker på det punktet. (Jeg har vært forsiktig med det kursiverte språket mitt her, da noe annet skjer når dreiemomenter blir introdusert!)
Den matematiske abstraksjonen som dekker alle disse situasjonene, er vektorområdet. Hvis vi trenger å ha piler som kan være hvor som helst, pålegger vi et ekvivalensforhold på settet med piler, noe som gjør to piler ekvivalente hvis de er parallelle og har samme retning. (“Samme retning” har intuitivt innhold som er litt vanskelig å gjøre systematisk.) En vektor blir deretter til en ekvivalensklasse av piler, og vektortilsetning defineres ved å ta «praktiske» klassepresentanter og legge dem til enten via halen til hodet eller parallellogramloven.
Bruk av ekvivalensklasser og deres representanter burde ikke virke særegne i det hele tatt; det er akkurat det vi gjør med brøker. En “brøkdel” kan betraktes som en ekvivalensklasse av symbolene a / b (b \ ne 0) under ekvivalensrelasjonen a / b \ equiv (na) / (nb). Når vi vil legge til to «brøker», roter vi om deres respektive ekvivalensklasser til vi finner to representanter med samme nevner, og deretter legger vi tellerne. Vektortilsetning er veldig analogt med dette. Videre, med brøker, er det et «foretrukket» sett med klassepresentanter, brøkene «i laveste termer.» For vektorer er det også en «foretrukket» klasse av representanter, vektorene hvis haler er ved opprinnelsen, og disse er det som blir tenkt på som de abstrakte elementene i et vektorrom når pilanalogien er i spill.
Nå er det situasjoner der det virkelig betyr noe hvor pilen er, det gir ingen mening å flytte pilen, og piler plassert på forskjellige punkter kan ikke og bør ikke legges til. Et værkart med piler som representerer vindhastigheter på forskjellige steder er et slikt eksempel. Dreiemomentene som er nevnt tidligere er også et eksempel; plasseringen av en kraft i forhold til tyngdepunktet betyr noe, og kraftpilen kan ikke oversettes til et annet punkt uten å endre det resulterende dreiemomentet. (Merk forresten at dreiemomentene i seg selv er vektorer enn det som kan tilsettes.) For et generisk matematisk eksempel består gradientfeltet til et skalarfelt av piler som er festet til bestemte steder og ikke er vilkårlig oversettbare.
En elementær observasjon om disse posisjonsavhengige vektorene er at den vanlige vektoren romlover (tillegg og skalar multiplikasjon) fortsetter å holde for alle vektorer i en hvilken som helst fast posisjon . Dette forteller oss at «løsningen» til den posisjonsavhengige gåten er å plassere et helt vektorrom på hvert punkt i det aktuelle rommet. De resulterende områdene er vanligvis kalt tangensrom , siden tangensområdet på et punkt kan betraktes som settet med alle hastighetsvektorer for parametriserte baner gjennom dette punktet (forutsatt nok differensiering for beskrivelsen for å gi mening).
Samlingen av alle tangentområdene kalles tangens bunt, og nå hvis du trenger å ha en posisjonsavhengig vektor på hvert punkt i rommet ditt, trenger du et kart fra rommet til tangentbunten som plukker ut nøyaktig en vektor i hvert tangensrom kl. distinkte punkter; et slikt kart kalles en seksjon av bunten, og den resulterende samlingen av posisjonsavhengige vektorer kalles en vektorfelt på det opprinnelige rommet.
På denne måten får vi ta kaken vår og spise den også; vektorer har ikke «posisjoner», men vektorrom har.