Beste svaret
I elektromagnetisk stråling (radiometri) er det en konsentrasjon eller en funksjon av bølgelengden til en belysning (radiometrisk eksitans).
Strålingsintensitet og lysstrøm eller den oppfattede kraften til lys er eksempler på spektralfordeling.
Den spektrale kraftfordelingen over det synlige spekteret fra en kilde kan ha varierende konsentrasjoner av relative SPD. For eksempel gir solens relative spektrale kraftfordeling et hvitt utseende hvis det observeres direkte, men når sollyset lyser opp jordens atmosfære, ser himmelen blå ut under normale dagslysforhold.
SPD kan også være brukes til å bestemme responsen til en sensor ved en spesifisert bølgelengde.
Håper du likte dette svaret! Vennligst oppstem og følg meg 🙂
Svar
Kanskje det er nyttig å først vurdere følgende villedende elementære spørsmål:
Spørsmål: Hva er en kvalitativ, ikke-algebraisk egenskap til en diagonaliserbar matrise som skiller dem fra ikke-diagonaliserbare matriser? (Glem om diagonaliseringen er gjort av en enhet for nå.)
Ett svar på dette nedtonede spørsmålet starter med å observere at diagonale matriser har følgende
Polynomial egenskap til diagonaliserbare matriser: Hvis A er en diagonaliserbar matrise, og P er et reelt polynom, avhenger P (A) bare av verdiene P (lamda) av P ved egenverdiene lamda av A.
Her bruker vi
Definisjon av å bruke et polynom til en matrise: Hvis P (x) er et polynom
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2 + .. . Cn X ^ n
og A er en matrise, så definerer vi
P (A) = C0 I + C1 A + C2 A ^ 2 + …
hvor jeg er identitetsmatrisen og hvor eksponentene dannes ved hjelp av matrisemultiplikasjon.
Du kan bevise denne polynomiske egenskapen til diagonaliserbare matriser ovenfor ved å diagonalisere A og se på hva som skjer når du tar et polynom av en diagonal matrise.
For en diagonaliserbar matrise kan man utvide forestillingen om å bruke funksjoner til matriser fra polynomer til vilkårlig fu funksjoner ved hjelp av følgende
Definisjon (funksjonell beregning for diagonaliserbare matriser, inelegant form): La A være en diagonaliserbar matrise, og la f være en reell eller kompleks verdsatt funksjon av egenverdiene til A. Da er f (A) matrisen
f (A) = M f (D) M ^ -1,
der
A = MDM ^ -1
er en diagonalisering av A, med D diagonal og M inverterbar, og hvor f (D) dannes ved å erstatte hver diagonale inngangs-lamda på D av f (lamda).
Eksempel: La f (x) = x ^ (1/3) være kubaroten funksjon, og la A være en diagonaliserbar matrise. Da er C = f (A) faktisk en terningrot av A: C ^ 3 = A.
Eksempel: Hvis A er ikke-ensidig og diagonaliserbar og f (x) = 1 / x, så er f (A) den omvendte matrisen til A.
Eksempel: Hvis A er diagonaliserbar og f (x) = exp (x), er f (A) matriseeksponensialet for A, gitt av den vanlige Taylor-serien:
exp (A) = I + A + A ^ 2/2 + A ^ 3/3! + …..
For å se at denne definisjonen av f (A) er veldefinert (dvs. uavhengig av diagonaliseringen) og for å se hvordan du skal gå frem i ikke-diagonaliserbart tilfelle, er det nyttig å definere f (A) for diagonal A på nytt i følgende form:
Alternativ definisjon (funksjonell beregning for diagonaliserbare matriser, bedre form): La A være en diagonal matrise, og la f være en reell eller kompleks verdsatt funksjon av egenverdiene til A. Deretter er f (A) = P (A), hvor P er et polynom valgt slik at f (lamda) = P (lamda) for hver egenverdi lamda av A.
Spesielt trenger man ikke å faktisk diagonalisere en matrise for å beregne en funksjon f (A) av matrisen: Interpolasjon av f ved egenverdiene til A gir et polynom som er tilstrekkelig til å beregne f (A).
Hva skjer nå hvis A ikke er diagonaliserbar? Vel, hvis vi jobber med de komplekse tallene, sier Jordans normale form at ved å velge et passende grunnlag kan en slik matrise skrives som en blokkdiagonal matrise, en direkte sum av Jordan Blocks Jn som
J2 = a 1 0 a.
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
der Jn er angstmatrise med noe komplekst tall a på diagonalen og en kjede på 1 «s over diagonalen. Merk at i hvert tilfelle har Mn den enkle egenverdien a av mangfold n.
Ingen av disse Jordan-blokkene er diagonaliserbare, siden følgende setning sier at Jordan-blokker ikke deler den polynomiske eiendommen for diagonale matriser :
Teorem: (Polynomers handling på Jordanblokker) La P være en polynom, og la Jn være en nxn Jordan-blokk, av formen ovenfor. Da avhenger P (J) bare av P (a) og av dens første n-derivater ved a. IE
P (J2) = P (a) P «(a) 0 P (a)
P (J3) = P (a) P «(a) P» «(a) / 2 0 P (a) P» (a) 0 0 P (a)
P (J4) = P (a) P «(a) P» «(a) / 2! P» «(a) / 3! 0 P (a) P «(a) P» «(a) / 2! 0 0 P (a ) P «(a) 0 0 0 P (a)
og så videre.
Man kan verifisere teoremet ovenfor ved å sjekke det for monomier og deretter utvide til polynomier, som bare er lineære kombinasjoner av monomialer.
For å se hvordan dette forholder seg til databehandlingsfunksjoner til matriser, bør du vurdere følgende problem, som bruker kubarotfunksjonen til matriser:
Problem (kuberøtter av matriser): La A være en ikke-ensformig mxm ekte eller kompleks matrise. Finn en terningsrot C = A ^ (1/3) av A, det vil si en matrise C slik at A = C ^ 3.
Vi gir to løsninger: Den første innebærer eksplisitt å beregne Jordan-formen av matrisen A, og den andre bruker bare eksistensen av Jordan-skjemaet, uten eksplisitt beregning.
Løsning 1: Av Jordan-skjemaet , kan vi nedbryte matrisen A til Jordan-blokker Jn med et valg av grunnlag, så vi begrenser hensynet til saken om at A = Jn for noen n. For eksempel, for et komplekst nummer a,
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
Nå er det ikke vanskelig å vise at det er et polynom
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2
slik at man ved egenverdien a av J3 har
P (a) = a ^ (1/3) P «(a) = 1/3 (a ^ (1/3)) ^ (-2) P» «(a) = -2/9 (a ^ (1/3)) ^ ( -5)
(Siden vi antar at ingen egenverdi er 0, er ingenting uendelig.)
(IE P er funksjonen x -> x ^ 1/3 opp til andre derivat ved punktet x = a. Det er noe tvetydighet i definisjonen av a ^ 1/3 i det komplekse tilfellet, så jeg har skrevet a ^ (- 2/3) = (a ^ (1/3)) ^ ( -2) for å ta vare på dette, noe som betyr at den samme kubaroten brukes i alle tre formlene.) Faktisk
P (X) = (5 a ^ (1/3) + 5 a ^ (-2/3) x – a ^ (- 5/3) x ^ 2) / 9,
selv om vi faktisk ikke trengte å beregne P, siden fra den generelle formelen for P (J3) i teoremet ovenfor,
P (J3) = a ^ 1/3 1/3 a ^ (- 2/3) -2/9 a ^ (- 5/3) 0 a ^ (1 / 3) 1/3 a ^ (- 2/3) 0 0 a ^ (1/3)
Dette er bare ønsket kubarot av J3!
C = P (J3).
For å se dette merket at
C ^ 3 = (P (J3)) ^ 3 = (P ^ 3) (J3) = R (J3),
der R (x) er polynom tilfredsstillende
R (x) = (P (x)) ^ 3.
Den viktige egenskapen til R er at punktet x = a, polynomet R = P ^ 3 samsvarer med identitetsfunksjonen x -> x opp til derivater av rekkefølge 2
R (a) = a R «(a) = 1 R» «(a) = 0,
slik at ved den generelle formelen for et polynom brukt på en Jordan-blokk,
C ^ 3 = R (J3) = R (a) R «(a) R «» (a) / 2 = a 1 0 = J3, 0 R (a) R «(a) = 0 a 1 0 0 R (a) = 0 0 a
som ønsket.
Løsning 2: Hvis A er en mxm-matrise, så finn et polynom P (x) slik at ved hver egenverdi x = a av A polynomet og dets derivater av orden opp til m-1 samsvarer med ønsket funksjon x -> x ^ 1/3. Da er C = P (A) ønsket kubarot av A.
Legg merke til at løsning 2 fungerer fordi alle Jordan-blokkene i A vil være av størrelse mindre enn n, og ved løsning 1 polynomet P vil erstatte hver jordan-blokk med kubaroten. Siden vi ikke gidder å eksplisitt beregne Jordan-formen av A, kan polynomet P vi brukte være i unødvendig høy grad, fordi vi ikke visste lengden på Jordan-kjedene. Polynominterpolering var imidlertid sannsynligvis ikke så mye arbeid som å beregne Jordan-formen. (Videre unngikk vi på denne måten numeriske ustabiliteter knyttet til Jordan-formen og degenererte egenverdier.)
Eksemplet på kuben root inviterer til følgende definisjon:
Definisjon (variant av Dunford-kalkulus i det endelige dimensjonale tilfellet) : La A være en selv- sammenhengende matrise. La f være en reell eller kompleks funksjon hvis domene inneholder egenverdiene til A. Deretter
f (A) = P (A),
hvor P (x) er et polynom slik at for hver egenverdi x = a
P (a) = f (a) P «(a) = f» (a) P «» (a) = f «» (a ) …………
hvor antall matchede derivater er minst størrelsen på den største kjeden på 1 «s i Jordan-blokken som tilsvarer egenverdien a.
Man kan verifisere at resultatet av å bruke funksjonen x-> 1 / x til en matrise A faktisk er den vanlige inverse matrisen til A. Man kan også verifisere at resultatet av å bruke den eksponensielle funksjonen eller sinusfunksjonen til en matrise A er den samme som å anvende den tilsvarende Taylor-serien for exp eller sin til matrisen A.
Begrepet å bruke en funksjon til en matrise kalles en «funksjonell kalkulator», som er hvorfor Dunford-kalkylen kalles en «kalkulus».
Det er standard i definisjonen av Dunford-kalkulus å kreve at f har komplekse derivater, og generelt definerer man dette ved hjelp av Cauchy-integralformelen i det uendelig-dimensjonale tilfellet. Jeg har kuttet gjennom alt dette for å bare forklare det enkle endelige dimensjonale tilfellet, og jeg har gått bort fra å forklare hva et derivat av en funksjon fra de komplekse tallene til de komplekse tallene er. (Heldigvis er funksjonen x-> x ^ (1/3) uendelig differensierbar på ikke-null-realene.) Det kan være noen finesser her, men jeg prøver å gi en rask oversikt over konseptene.
Det er derfor tydelig at Jordanformen i noen forstand i det vesentlige er Dunford-kalkulus og spektralsetningen er den funksjonelle kalkulasjonen for selvtilstøtende operatører. (Sistnevnte er synspunktet som Reed & Simon tar i «Methods of Matematisk fysikk I: Funksjonsanalyse. Denne diskusjonen er bare endelig-dimensjonal, men Reed & Simon vurderer det uendelige-dimensjonale tilfellet.)
Uansett, resultatet av alt dette er at diagonaliserbarhet er relatert til forestillinger om å ta matrisefunksjoner. Dette kalles funksjonell kalkulator, og det er forskjellige funksjonelle kalkuler.
Nå er selvtilknytning litt dypere, fordi den innebærer enhetlig diagonaliserbarhet, ikke bare diagonaliserbarhet. Egenområdene blir ortogonale. Jeg har ikke tenkt på en god måte å forklare hva som er intuitivt avgjørende for dette. Imidlertid kan ortogonale egenrom i kvantemekanikk skille seg perfekt ut, og selvtilknytning blir en naturlig tilstand. Spekteret av hydrogenatomet er bare forskjellene i egenverdier av sin Hamilton-operatør.
Å komme med noen intuitive forklaringer på hvorfor kvantemekanikk involverer slik matematikk er utenfor meg.